上编 复变函数导论
第一章 复数和复变函数
§1.1 复数
§1.2 复数的几何表示
§1.3 复变函数
§1.4 单值函数
§1.5 极限与连续
§1.6 导数
§1.7 解析
§1.8 解析函数与调和函数的关系
§1.9 多值函数与黎曼面
§1.10 小结
第二章 复变函数的积分
§2.1 复变函数的积分
§2.2 解析函数的积分
§2.3 柯西公式
§2.4 柯西型积分
§2.5 柯西导数公式
§2.6 解析函数的不定积分
§2.7 小结
第三章 级数
§3.1 复数项级数
§3.2 复变函数项级数
§3.3 幂级数
§3.4 解析函数与幂级数
§3.5 解析函数与双边幂级数
§3.6 解析函数的泰勒展开方法
§3.7 解析函数的洛朗展开方法
§3.8 孤立奇点
§3.9 无限远点
§3.10 小结
第四章 留数
§4.1 柯西公式的另一种形式
§4.2 应用级数分析留数定理
§4.3 解析函数在无限远点的留数
§4.4 利用留数定理计算实函数的定积分
§4.5 广义积分的柯西主值
§4.6 对数留数和辐角原理
§4.7 围线积分方法
§4.8 黎曼面上的多值函数积分
§4.9 小结
第五章 解析延拓
§5.1 解析函数的唯一性与解析延拓
§5.2 含参变数的积分
§5.3 Γ函数的解析延拓
§5.4 小结
第六章 积分变换
§6.1 傅里叶级数
§6.2 傅里叶积分
§6.3 傅里叶变换
§6.4 拉普拉斯变换
§6.5 黎曼-梅林公式
§6.6 拉普拉斯变换的应用
§6.7 小结
第七章 δ函数和广义函数
§7.1 δ函数
§7.2 广义函数论的基本概念
§7.3 δ函数的常用公式
§7.4 小结
下编 数理方程和特殊函数
第八章 数学物理方程的导出
§8.1 振动方程
§8.2 扩散方程和热传导方程
§8.3 拉普拉斯方程
§8.4 波动方程
§8.5 线性方程和叠加原理
§8.6 定解条件
§8.7 小结
第九章 本征函数法
§9.1 分离变量法
§9.2 有界杆的导热问题
§9.3 齐次边界条件和延拓
§9.4 含非齐次边界条件的定解问题
§9.5 按本征函数系展开方法解数理方程
§9.6 正交曲线坐标系中的度规系数和拉普拉斯算符
§9.7 亥姆霍兹方程的分离变量
§9.8 斯特姆一刘维尔本征问题
§9.9 圆形域中的调和函数
§9.10 小结
第十章 勒让德多项式和球谐函数
§10.1 球坐标系下的数理方程
§10.2 常微分方程的幂级数解法
§10.3 勒让德多项式
§10.4 勒让德方程的本征值和本征函数
§10.5 母函数和递推公式
§10.6 勒让德多项式的模
§10.7 具有轴对称性的物理问题
§10.8 连带勒让德多项式
§10.9 球谐函数
§10.10 小结
第十一章 贝塞耳函数
§11.1 柱坐标系下的偏微分方程
§11.2 贝塞耳方程的幂级数解
§11.3 整数阶贝塞耳函数
§11.4 贝塞耳函数的性质
§11.5 物理实例
§11.6 第二类贝塞耳函数
§11.7 贝塞耳函数的路径积分表示
§11.8 柱函数
§11.9 半奇数阶贝塞耳函数
§11.10 变形贝塞耳函数
§11.11 球贝塞耳函数
§11.12 小结
第十二章 积分变换法
§12.1 一维无界空间中的扩散
§12.2 半无界的扩散问题
§12.3 无界弦的振动
§12.4 用拉普拉斯变换法解数理方程
§12.5 小结
第十三章 格林函数
§13.1 稳恒数理方程的格林函数
§13.2 随时间变化的数理方程的格林函数
§13.3 冲量定理法
§13.4 一维边值问题的格林函数
§13.5 拉普拉斯算符的格林公式
§13.6 亥姆霍兹方程的格林函数
§13.7 伴随算符和广义格林公式
§13.8 自伴算符和自伴本征值问题
§13.9 小结
第十四章 数学物理方程的分类
§14.1 两个自变数的情况
§14.2 特征线和方程的标准形式
§14.3 多自变数方程的分类
§14.4 小结
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