前言
第1章 数学物理中的分数阶微分方程
1.1 分数阶导数的由来
1.2 反常扩散与分数阶扩散对流
1.2.1 随机游走和分数阶方程
1.2.2 分数阶扩散对流方程
1.2.3 分数阶Fokker-Planck方程
1.2.4 分数阶Klein-Kramers方程
1.3 分数阶准地转方程(QGE)
1.4 分数阶Schr?dinger方程
1.5 分数阶Ginzburg-Landau方程
1.6 分数阶Landau-Lifshitz方程
1.7 分数阶微分方程的一些应用
第2章 分数阶微积分与分数阶方程
2.1 分数阶积分和求导
2.1.1 Riemann-Liouville分数阶积分
2.1.2 R-L分数阶导数
2.1.3 R-L分数阶导数的拉普拉斯变换
2.1.4 其他的分数阶导数定义
2.2 分数阶拉普拉斯算子
2.2.1 定义与背景
2.2.2 分数阶拉普拉斯算子的性质
2.2.3 拟微分算子
2.2.4 Riesz位势与Bessel位势
2.2.5 分数阶Sobolev空间
2.2.6 交换子估计
2.3 解的存在唯一性
2.3.1 序列分数阶导数
2.3.2 线性分数阶微分方程
2.3.3 一般的分数阶常微分方程
2.3.4 例子——Mittag-Leffler函数的应用
2.4 附录A 傅里叶变换
2.5 附录B 拉普拉斯变换
2.6 附录C Mittag-Leffler函数
2.6.1 Gamma函数和Beta函数
2.6.2 Mittag-Leffler函数
第3章 分数阶偏微分方程
3.1 分数阶扩散方程
3.2 分数阶Schr?dinger方程
3.2.1 空间分数阶导数的Schr?dinger方程
3.2.2 时间分数阶导数的Schr?dinger方程
3.2.3 一维分数阶Schr?dinger方程的整体适定性
3.3 分数阶Ginzburg-Landau方程
3.3.1 弱解的存在性
3.3.2 强解的整体存在性
3.3.3 吸引子的存在性
3.4 分数阶Landau-Lifshitz方程
3.4.1 黏性消去法
3.4.2 Ginzburg-Landau逼近与渐近极限
3.4.3 高维情形——Galerkin逼近
3.5 分数阶QG方程
3.5.1 解的存在唯一性
3.5.2 无黏极限
3.5.3 长时间行为——衰减和逼近
3.5.4 吸引子的存在性
3.6 边值问题——调和延拓方法
第4章 分数阶微积分的数值逼近
4.1 分数阶微积分定义及其相互关系
4.2 Riemann-Liouville分数阶微积分的G算法
4.3 Riemann-Liouville分数阶导数的D算法
4.4 Riemann-Liouville分数阶积分的R算法
4.5 分数阶导数的L算法
4.6 分数阶差商逼近的一般通式
4.7 经典整数阶数值微分、积分公式的推广
4.7.1 经典向后差商及中心差商格式的推广
4.7.2 插值型数值积分公式的推广
4.7.3 经典线性多步法的推广:Lubich分数阶线性多步法
4.8 其他方法技巧的应用
4.8.1 利用傅里叶级数计算周期函数的分数阶微积分
4.8.2 短记忆原理
第5章 分数阶常微分方程数值求解方法
5.1 分数阶线性微分方程的解法
5.2 一般分数阶常微分方程的解法
5.2.1 直接法
5.2.2 间接法
5.2.3 差分格式
5.2.4 误差分析
第6章 分数阶偏微分方程数值解法
6.1 空间分数阶对流-扩散方程
6.2 时间分数阶偏微分方程
6.2.1 差分格式
6.2.2 稳定性分析:Fourier-Von Neumann方法
6.2.3 误差分析
6.3 时间-空间分数阶偏微分方程
6.3.1 差分格式
6.3.2 稳定性及收敛性分析
6.4 非线性分数阶偏微分方程的数值计算
6.4.1 Adomian分解法
6.4.2 变分迭代法
参考文献
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