第一章 数学物理方程概述
1 偏微分方程举例和基本概念
1.1 偏微分方程举例
1.2 基本概念
2 方程及定解问题的物理推导
2.1 弦振动方程
2.2 薄膜平衡方程
2.3 热传导方程
2.4 定解条件和定解问题
3 两个重要原理
3.1 杜阿梅尔原理
3.2 叠加原理
习题一
第二章 分离变量法和积分变换法
1 齐次波动方程的第一齐边值问题
1.1 有界弦的自由振动
1.2 解的物理意义
2 齐次热传导方程的定解问题
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
2.2 傅里叶积分
2.3 齐次热传导方程的初值问题
2.4 傅里叶积分解的物理意义
3 二维拉普拉斯方程
3.1 圆域内的第一边值问题
3.2 圆域外的第一边值问题
4 非齐次定解问题的解法
4.1 非齐次方程的求解
4.2 非齐次边界条件的处理
4.3 特殊的方程非齐次项处理
5 积分变换法
习题二
第三章 行波法
1 弦振动方程的初值问题
1.1 达朗贝尔公式
1.2 达朗贝尔解的物理意义
1.3 二阶偏微分方程的分类
2 高维齐次波动方程
2.1 三维波动方程(平均值法）
2.2 二维波动方程(降维法）
2.3 泊松公式的物理意义
3 非齐次波动方程
习题三
第四章 格林函数法
1 拉普拉斯方程边值问题的提法
2 调和函数
2.1 格林公式
2.2 拉普拉斯方程的对称解
2.3 调和函数的基本性质
3 格林函数
3.1 格林函数的定义
3.2 格林函数的性质和物理意义
4 几类特殊区域问题的求解
习题四
第五章 勒让德多项式
1 勒让德方程的导出
2 勒让德方程的幂级数解
3 勒让德多项式
4 勒让德多项式的母函数及其递推公式
4.1 勒让德多项式的母函数
4.2 勒让德多项式的递推公式
5 勒让德多项式的正交性
6 勒让德多项式的应用
习题五
第六章 贝塞尔函数
1 贝塞尔方程的导出
2 贝塞尔方程的级数解
2.1 贝塞尔方程的求解
2.2 贝塞尔方程的通解
3 贝塞尔函数的母函数及递推公式
3.1 贝塞尔函数的母函数
3.2 贝塞尔函数的递推公式
4 函数展成贝塞尔函数的级数
4.1 贝塞尔函数零点的性质
4.2 贝塞尔函数的正交性和归一性
4.3 展开定理的叙述
5 贝塞尔函数的应用
习题六
第七章 变分法
1 泛函和泛函的极值问题
1.1 基本概念
1.2 变分法基本引理
1.3 泛函极值的必要条件
1.4 泛函极值的充分条件
2 泛函的条件极值问题
2.1 泛函的条件极值及其必要条件
2.2 应用举例
3 变分法应用
3.1 泛函极值问题与边值问题
3.2 泛函极值问题的近似解法
习题七
第八章 数学物理方程的有限差分法
1 差分方程的构造
2 调和方程的差分格式
3 热传导方程的差分格式
4 波动方程的差分格式
习题八
第九章 定解问题的适定性
1 适定性的概念
2 古典解的存在性
3 古典解的唯一性和稳定性
3.1 能量积分
3.2 古典解的唯一性
3.3 古典解的稳定性
习题九
附录Ⅰ 一般形式的二阶线性常微分方程固有值问题的一些结论
附录Ⅱ r函数的定义和基本性质
习题参考答案
参考文献
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