清华大学研究生公共课教材·数学系列：应用近世代数（第3版）

　　第1章引言和预备知识1
　　1.1几类实际问题1
　　1. 一些计数问题1
　　2. 数字通信的可靠性问题与保密性问题5
　　3. 几何作图问题7
　　4. 代数方程根式求解问题8
　　习题1.1 8
　　1.2集合与映射9
　　1. 集合的记号9
　　2. 子集与幂集9
　　3. 子集的运算10
　　4. 包含与排斥原理10
　　5. 映射的概念12
　　6. 映射的分类13
　　7. 映射的复合15
　　8. 映射的逆16
　　习题1.2 17
　　1.3二元关系18
　　1. 二元运算与代数系统18
　　2. 二元关系19
　　3. 等价关系、等价类和商集19
　　4. 偏序和全序22
　　习题1.3 24
　　1.4整数与同余方程24
　　1. 整数的运算25
　　2. 最大公因子和最小公倍数25
　　3. 互素29
　　4. 同余方程及孙子定理29
　　习题1.4 34
　　第1章小结35
　　第2章群论37
　　2.1基本概念37
　　1. 群和半群37
　　2. 关于单位元的性质39
　　3. 关于逆元的性质39
　　4. 群的几个等价性质40
　　习题2.1 45
　　2.2子群45
　　1. 子群45
　　2. 元素的阶48
　　习题2.2 49
　　2.3循环群和生成群，群的同构50
　　1. 循环群和生成群50
　　2. 群的同构51
　　3. 循环群的性质53
　　习题2.3 54
　　2.4变换群和置换群，Cayley定理55
　　1. 置换群56
　　2. Cayley定理60
　　习题2.4 62
　　2.5子群的陪集和Lagrange定理62
　　1. 子群的陪集62
　　2. 子群的指数和Lagrange定理64
　　习题2.5 66
　　2.6正规子群和商群67
　　1. 正规子群的概念67
　　2. 正规子群的性质68
　　3. 商群69
　　4. 单群71
　　习题2.6 71
　　2.7共轭元和共轭子群72
　　1. 中心和中心化子72
　　2. 共轭元和共轭类73
　　3. 共轭子群与正规化子74
　　4. 置换群的共轭类75
　　习题2.7 78
　　2.8群的同态79
　　1. 群的同态79
　　2. 同态基本定理80
　　3. 有关同态的定理82
　　4. 自同态与自同构85
　　习题2.8 86
　　2.9群对集合的作用，Burnside引理87
　　1. 群对集合的作用87
　　2. 轨道与稳定子群88
　　3. Burnside引理90
　　习题2.9 92
　　2.10应用举例92
　　1. 项链问题93
　　2. 分子结构的计数问题96
　　3. 正多面体着色问题97
　　4. 开关线路的计数问题98
　　5. 图的计数问题99
　　6. RSA密码系统的加密与解密变换101
　　7. 二次同余方程102
　　习题2.10 104
　　2.11群的直积和有限可换群104
　　1. 群的直积104
　　2. 有限可换群的结构105
　　习题2.11 108
　　2.12有限群的结构，Sylow定理108
　　1. p子群与Sylow p子群109
　　2. Sylow定理109
　　习题2.12 112
　　第2章小结112
　　第3章环论116
　　3.1环的定义和基本性质116
　　1. 环的定义116
　　2. 环内一些特殊元素和性质118
　　3. 环的分类120
　　习题3.1 121
　　3.2子环、理想和商环123
　　1. 子环123
　　2. 生成子环和生成理想126
　　3. 商环126
　　习题3.2 128
　　3.3环的同构与同态129
　　1. 同构与同态129
　　2. 有关同态的一些定理130
　　3. 分式域132
　　习题3.3 133
　　3.4整环中的因子分解134
　　1. 一些基本概念134
　　2. 既约元和素元135
　　3. 最大公因子135
　　习题3.4 137
　　3.5惟一分解整环137
　　1. 惟一分解整环及其性质137
　　2. 主理想整环139
　　3. 欧氏整环141
　　习题3.5 142
　　3.6多项式分解问题143
　　1. 本原多项式及其性质143
　　2. D［x］的分解性质144
　　3. 多项式的可约性判断146
　　习题3.6 148
　　3.7应用举例148
　　1. 编码问题148
　　2. 多项式编码方法及其实现149
　　习题3.7 153
　　第3章小结153
　　第4章域论155
　　4.1域和域的扩张，几何作图问题155
　　1. 域的特征和素域155
　　2. 扩张次数，代数元和超越元157
　　3. 添加元素的扩张158
　　4. 代数扩张与有限扩张159
　　5. 几何作图问题160
　　习题4.1 163
　　4.2分裂域，代数基本定理164
　　1. 分裂域164
　　2. 代数基本定理168
　　习题4.2 169
　　4.3有限域，有限几何170
　　1. 有限域的构造及惟一性170
　　2. 有限域的元素的性质172
　　3. Zp\[x\]中多项式的根174
　　4. 有限域的子域175
　　5. 有限域的自同构群175
　　6. 有限域上的元素和多项式的性质176
　　7. 有限几何177
　　习题4.3 180
　　4.4单位根，分圆问题181
　　1. 单位根181
　　2. 分圆问题182
　　习题4.4 185
　　第4章小结185
　　第5章方程根式求解问题简介188
　　5.1多项式的Galois群189
　　1. 域和多项式的Galois群189
　　2. 多项式的Galois群的置换表示190
　　3. 多项式的Galois群的阶191
　　4. 多项式的Galois群的计算192
　　习题5.1 194
　　5.2群的可解性和代数方程的根式求解问题194
　　1. 群的可解性194
　　2. 可解群的性质196
　　3. 代数方程的根式可解性197
　　习题5.2 198
　　第5章小结198
　　附录其他代数系简介199
　　1. 格与布尔代数199
　　2. 模的概念及例201
　　3. 代数201
　　习题202
　　习题提示与答案203
　　符号索引218
　　名词索引220
　　参考文献223

　　王殿军，男，汉族，1960年9月生于陕西。1982年1月在陕西师范大学数学系获得理学学士学位。1997年7月在北京大学数学学院获得博士学位。1997年8至1999年7月为清华大学数学系博士后。1999年8月至2006年12月为清华大学数学系副教授、教授，先后担任过数学系研究生工作组组长、党委副书记、党委书记。2007年1月起任清华大学附属中学校长。
　　王殿军长期在大学的教学科研一线工作，主讲过十余门课程，其中北京市和清华大学的精品课程各一门，近五年所讲授的主要课程教学评估均居清华大学前5%。完成了国家自然基金等各类科研项目近十项，发表学术论文30余篇，改编和编著出版书籍各两部，指导博士后2名、博士生1名、硕士生5名。曾荣获清华大学优秀辅导员 “林枫奖”、 清华大学优秀教学成果奖、清华大学青年教师教学优秀奖、北京市优秀教学成果奖以及“北京市教育创新标兵”、“北京市优秀教师”等荣誉称号。

　　近世代数(又名抽象代数)是现代数学的重要基础，在计算机科学、信息科学、近代物理与近代化学等方面有广泛的应用，是现代科学技术人员所必需的数学基础.本书介绍群、环、域的基本理论与应用.适用于数学与应用数学、计算机科学、无线电、物理、化学、生物医学等专业的本科生、研究生以及专业人员。