第1章 矩阵基础知识
1.1 线性空间与线性映射
1.1.1 线性空间与线性子空间
1.1.2 Euclid空间、酉空间
1.1.3 线性映射及其矩阵表示
1.1.4 几个重要的线性子空间及其性质
1.2 矩阵的数值特征
1.2.1 秩
1.2.2 行列式
1.2.3 迹
1.2.4 特征值、特征向量和特征多项式
1.3 矩阵的标准形
1.3.1 等价变换下的标准形
1.3.2 相似变换下的.Jordan标准形
1.3.3 相合变换下的标准形
1.4 半正定和正定矩阵
1.5 矩阵求逆公式
1.5.1 Leverrier-Faddeev算法
1.5.2 分块求逆公式
1.5.3 Sherman-Motrison-Woodbury公式
1.6 Hadamard与Kronecker积
1.6.1 Hadamard积及其性质
1.6.2 Kronecker积及其性质
习题
第2章 向量范数和矩阵范数
2.1 向量范数
2.1.1 向量范数的定义
2.1.2 常用向量范数
2.1.3 向量范数的分析性质
2.1.4 向量范数的代数性质
2.2 矩阵范数
2.2.1 矩阵范数的定义及分析性质
2.2.2 常用的矩阵范数
2.2.3 由向量范数诱导的矩阵范数
2.3 一些应用
2.3.1 谱半径与矩阵范数
2.3.2 矩阵逆与线性方程组解的扰动问题
2.3.3 条件数
习题
第3章 矩阵函数和矩阵微积分
3.1 矩阵序列和矩阵级数
3.1.1 矩阵序列
3.1.2 矩阵级数
3.1.3 矩阵幂级数
3.2 矩阵函数
3.2.1 矩阵函数的定义与性质
3.2.2 矩阵函数值的计算
3.3 矩阵的微分和积分
3.3.1 以一元函数为元素的矩阵的微积分
3.3.2 函数对向量的微分
3.3.3 函数对矩阵的微分
3.3.4 矩阵对矩阵的微分
3.4 征多项式系数的表示
3.4.1 线性常系数微分方程组的求解
3.4.2 矩阵最优低秩逼近
习题
第4章 矩阵分解
4.1 满秩分解
4.2 三角分解
4.2.1 LU分解
4.2.2 LDU分解
4.2.3 Lu分解的算法
4.2.4 Cholesky分解
4.3 QR分解
4.3.1 QR分解
4.3.2 Gram-Schmidt算法及其修正
4.3.3 Householder变换法
4.3.4 Givens旋转法
4.4 奇异值分解
4.4.1 定义及性质
4.4.2 极分解
4.5 矩阵的同时对角化
4.5.1 Hermite矩阵和正规矩阵同时对角化
4.5.2 广义奇异值分解
4.6 一些应用
4.6.1 随机向量的模拟
4.6.2 基于QR分解的最小二乘算法
4.6.3 矩阵的最优逼近
习题
第5章 特征值分析
5.1 特征值的连续性
5.2 特征值的估计
5.2.1 特征值的界
5.2.2 特征值所在的区域
5.3 Hermite矩阵的特征值及其极性
5.3.1 Rayleigh商
5.3.2 广义Rayleigh商
5.3.3 特征值的分隔
5.3.4 Hermite扰动下的特征值
5.4 一些应用
5.4.1 与对角矩阵相似的矩阵特征值的扰动
5.4.2 主成分分析
5.4.3 概率分布的Wasserstein距离
习题
第6章 广义逆矩阵
6.1 投影矩阵
6.2 广义逆矩阵及其性质
6.2.1 广义逆的定义
6.2.2 广义逆的性质
6.2.3 广义逆的等价形式
6.2.4 广义逆的反序法则
6.2.5 广义逆矩阵的连续性问题
6.3 广义逆的计算方法
6.3.1 单个矩阵的广义逆
6.3.2 更新矩阵的广义逆
6.3.3 分块算法
6.4 一些应用
6.4.1 矩阵方程、线性方程组的解与广义逆
6.4.2 精确初始化的最小二乘递推算法
习题
第7章 矩阵不等式
7.1 数值特征的不等式
7.1.1 迹不等式
7.1.2 与特征值相关的不等式
7.2 I,Swner序
7.2.1 A≥B
7.2.2 A2>B2
7.2.3 几个重要不等式的矩阵形式
7.3 一些应用
7.3.1 最优线性无偏估计融合
7.3.2 线性最小均方误差估计的解析表达式
7.3.3 估计的相对效率
习题
参考文献
索引
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