特征值，不等式和遍历理论（英文版）

　　Preface
　　Acknowledgments
　　Chapter 1 An Overview of the Book
　　1.1 Introduction
　　1.2 New variational formula for the first eigenvalue
　　1.3 Basic inequalities and new forms of Cheeger's constants
　　1.4 A new picture of ergodic theory and explicit criteria
　　Chapter 2 Optimal Markovian Couplings
　　2.1 Couplings and Markovian couplings
　　2.2 Optimality with respect to distances
　　2.3 Optimality with respect to closed functions
　　2.4 Applications of coupling methods
　　Chapter 3 New Variational Formulas for the First Eigenvalue
　　3.1 Background
　　3.2 Partial proof in the discrete case
　　3.3 The three steps of the proof in the geometric case
　　3.4 Two difficulties
　　3.5 The final step of the proof of the formula
　　3.6 Comments on different methods
　　3.7 Proof in the discrete case （continued）
　　3.8 The first Dirichlet eigenvalue
　　Chapter 4 Generalized Cheeger's Method
　　4.1 Cheeger's method
　　4.2 A generalization
　　4.3 New results
　　4.4 Splitting technique and existence criterion
　　4.5 Proof of Theorem 4.4
　　4.6 Logarithmic Sobolev inequality
　　4.7 Upper bounds
　　4.8 Nash inequality
　　4.9 Birth-death processes
　　Chapter 5 Ten Explicit Criteria in Dimension One
　　5.1 Three traditional types of ergodicity
　　5.2 The first （nontrivial） eigenvalue （spectral gap）
　　5.3 The first eigenvalues and exponentially ergodic rate
　　5.4 Explicit criteria .
　　5.5 Exponential ergodicity for single birth processes
　　5.6 Strong ergodicity
　　Chapter 6 Poincare-Type Inequalities in Dimension One
　　6.1 Introduction
　　6.2 Ordinary Poincare inequalities
　　6.3 Extension: normed linear spaces
　　6.4 Neumann case: Orlicz spaces
　　6.5 Nash inequality and Sobolev-type inequality
　　6.6 Logarithmic Sobolev inequality
　　6.7 Partial proofs of Theorem 6.1
　　Chapter 7 Functional Inequalities
　　7.1 Statement of results
　　7.2 Sketch of the proofs
　　7.3 Comparison with Cheeger's method
　　7.4 General convergence speed
　　7.5 Two functional inequalities
　　7.6 Algebraic convergence
　　7.7 General （irreversible） case
　　Chapter 8 A Diagram of Nine Types of Ergodicity
　　8.1 Statements of results
　　8.2 Applications and comments
　　8.3 Proof of Theorem 1.9
　　Chapter 9 Reaction-Diffusion Processes
　　9.1 The models
　　9.2 Finite-dimensional case
　　9.3 Construction of the processes
　　9.4 Ergodicity and phase transitions
　　9.5 Hydrodynamic limits
　　Chapter 10 Stochastic Models of Economic Optimization
　　10.1 Input-output method
　　10.2 L.K. Hua's fundamental theorem
　　10.3 Stochastic model without consumption
　　10.4 Stochastic model with consumption
　　10.5 Proof of Theorem 10.4
　　Appendix A Some Elementary Lemmas
　　Appendix B Examples of the Ising Model on Two to Four Sites
　　References
　　Author Index
　　Subject Index

　　This book surveys， in a popular way， the main progress made in the field by our group. It consists of ten chapters plus two appendixes. The first chapter is an overview of the second to the eighth ones. Mainly， we study several different inequalities or different types of convergence by using three mathematical tools: a probabilistic tool， the coupling methods （Chapters 2 and 3）; a generalized Cheeger's method originating in Riemannian geometry （Chapter 4）; and an approach coming from potential theory and harmonic analysis （Chapters 6 and 7）. The explicit criteria for different types of convergence and the explicit estimates of the convergence rates （or the optimal constants in the inequalities） in dimension one are given in Chapters 5 and 6; some generalizations are given in Chapter 7. The proofs of a diagram of nine types of ergodicity （Theorem 1.9） are presented in Chapter 8.