复变函数引论

　　Preface
　　ChapterⅠComplex Number Field
　　§1.1. Sums and Products
　　§1.2. Basic Algebraic Properties
　　§1.3. Further Properties
　　§1.4. Moduli
　　§1.5. Conjugates
　　§1.6. Exponential Form
　　§1.7. Products and Quotients in Exponential Form
　　§1.8. Roots of Complex Numbers
　　§1.9. Examples
　　§1.10. Regions in the Complex Plane
　　Chapter II Analytic Functions
　　§2.1. Functions of a Complex Variable
　　§2.2. Mappings
　　§2.3. The Exponential Function and its Mapping Properties
　　§ 2.4. Limits
　　§2.5. Theorems on Limits
　　§2.6. Limits Invoying the Point at Infinity
　　§2.7. Continuity
　　§2.8. Derivatives
　　§2.9. Differentiation Formulas
　　§2.10. Cauchy-Riemann Equations
　　§2.11. Necessary and Sufficient Conditions for Differentiability
　　§2.12. Polar Coordinates
　　§2.13. Analytic Functions
　　§2.14. Examples
　　§2.15. Harmonic Functions
　　Chapter Ⅲ Elementary Functions
　　§3.1. The Exponential Function
　　§3.2. The Logarithmic Function
　　§3.3. Branches and Derivatives of Logarithms
　　§3.4. Some Identities on Loganthms
　　§3.5. Complex Power Functions
　　§3.6. Trigonometric Functions
　　§3.7. Hyperbolic Functions
　　§3.8. Inverse Trigonometric and Hyperbolic Functions
　　Chapter Ⅵ Integrals
　　§4.1. Derivatives of Complex-Valued Functions of One Real Variable
　　§4.2. Definite Integrals of Functions
　　§4.3. Paths
　　§4.4. Path Integrals
　　§4.5. Examples
　　§4.6. Upper Bounds for Integrals
　　§4.7. Primitive Functions
　　§4.8. Examples
　　§4.9. Cauchy Integral Theorem
　　§4.10. Proof of the Cauchy Integral Theorem
　　§4.11. Extended Cauchy Integral Theorem
　　§4.12. Cauchy Integral Formula
　　§4.13. Derivatives of Analytic Functions
　　§4.14. Liouville's Theorem
　　§4.15. Maximum Modulus Principle
　　Chapter Ⅴ Series
　　§5.1. Convergence of Series
　　§5.2. Taylor Series
　　§5.3. Examples
　　§5.4. Laurent Series
　　§5.5. Examples
　　§5.6. Absolute and Uniform Convergence of Power Series
　　§5.7. Continuity of Sums of Power Series
　　§5.8. Integration and Differentiation of Power Series
　　§5.9. Uruqueness of Series Representations
　　§5.10. Multiplication and Division of Power Series
　　Chapter Ⅵ Residues and Poles
　　§6.1. Residues
　　§6.2. Cauchy's Residue Theorem
　　§6.3. Using a Single Residue
　　§6.4. The Three Types of lsolated Singular Points
　　§6.5. Residues at poles
　　§6.6. Examples
　　§6.7. Zeros of Analytic Functions
　　§6.8. Uniquely Determined Analytic Functions
　　§6.9. Zeros and Poles ,
　　§6.10. Behavior of Near lsolated Singular Points
　　§6.11. Reflection Principle
　　Chapter Ⅶ Applications of Residues
　　Chapter Ⅷ ConformaI Mappings

　　For several years， I have been conducting courses in Complex Analysis， Real Analysis and Functional Analysis in a so-called "bilingual" way. That is， the lessons are given with Chinese textbooks， but mainly teached.in English. The main purpose of teaching in this way is to improve the undergraduate students' ability to read and write English. Using a Chinese textbook in such "bilingual" courses is not， however， useful for training students' ability of English thinking. Consequently， although there are a number of books on complex analysis in Chinese， in order to meet the requirements of bilingual teaching， it is necessary to write a textbook on complex analysis in.English for Chinese undergraduate students. This is just the main aim of compiling the present book.
　　Roughly， analysis may be characterized as the study of functions and their various generalilzations by using limits. In Mathematical Analysis， or Calculus，real-valued continuous functions of real variables were mainly discussed. Complex Analysis， or theory of functions of one complex variable， is devoted to the study of analytic complex-valued functions of one complex variable. The main tool used in complex analysis may be the theory ofintegrals.