普通高等教育“十二五”规划教材：高等代数

　　前言 
　　引言 
　　§0.1高等代数的研究对象 
　　§0.2按照数学的思维方式学习数学 
　　§0.3映射的乘法，可逆映射 
　　小窗口关于无限集的基数 
　　第一章线性方程组的解法 
　　§1.1高斯消元法 
　　§1.2线性方程组解的情况及其判定 
　　§1.3数域 
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　　丘维声，北京大学数学科学学院教授，博士生导师，首届全国高等学校***教学名师，美国数学会MathematicalReviews评论员，中国数学会组合数学与图论专业委员会首届常务理事，“国家教委高等学校数学与力学教学指导委员会”（一、二届）成员，中国高等教育学会教育数学专业委员会副理事长，《数学通报》副主编。长期从事高等代数、解析几何、抽象代数、线性代数、群表示论、数学的思维方式与创新等课程的教学工作（主持的“高等代数及习题”课程曾被评为北京大学优秀主干基础课），从事代数组合论、群表示论、编码和密码的研究，发表学术论文46篇。承担国家自然科学基金重点项目2项，主持国家自然科学基金面上项目3项。出版著作40部，译著6部，发表教学改革论文22篇。
　　获奖情况
　　荣获一届全国高等学校***教学名师奖（2003年），三次被评为北京大学…
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　　《普通高等教育“十二五”规划教材：高等代数》是作者积40多年在北京大学讲授高等代数及相关课程，以及从事科研工作的经验和心得写成的，有许多独到的科学见解。本书鲜明地突出了“研究线性空间的结构及其态射（即线性映射）”这条主线，科学地安排讲授体系：一章线性方程组的解法；第二章行列式；第三章线性空间；第四章矩阵的运算；第五章一元多项式环；第六章线性映射；第七章双线性函数，二次型；第八章具有度量的线性空间；第九章n元多项式环。《普通高等教育“十二五”规划教材：高等代数》精心配备每一节的例题和习题。本书力求使高等代数与几何水乳交融，并按照数学的思维方式编写各章节的内容，使学生既比较容易地学到高等代数的知识，又从中受到数学思维方式的熏陶和训练，另外本书还配有习题答案与提示的全文在线阅读。
　　《普通高等教育“十二五”规划教材：高等代数》可作为综合性大学、理工类大学和高等师范院校的高等代数课程的教材，还可作为高等代数或线性代数课程的教学参考书，也是数…
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　　前言 
　　引言 
　　§0.1高等代数的研究对象 
　　§0.2按照数学的思维方式学习数学 
　　§0.3映射的乘法，可逆映射 
　　小窗口关于无限集的基数 
　　第一章线性方程组的解法 
　　§1.1高斯消元法 
　　§1.2线性方程组解的情况及其判定 
　　§1.3数域 
　　补充题一 
　　第二章行列式 
　　§2.1n元排列 
　　§2.2n阶行列式的定义 
　　§2.3行列式的性质 
　　§2.4行列式按一行（列）展开 
　　§2.5克拉默（Cramer）法则，行列式的几何意义 
　　§2.6行列式按k行（列）展开 
　　补充题二 
　　第三章线性空间 
　　§3.1线性空间的定义和性质 
　　§3.2线性子空间 
　　§3.3线性相关与线性无关的向量组 
　　§3.4极大线性无关组，向量组的秩 
　　§3.5基，维数 
　　§3.6矩阵的秩 
　　§3.7线性方程组有解判别准则 
　　§3.8齐次（非齐次）线性方程组解集的结构 
　　§3.9子空间的交与和，子空间的直和 
　　§3.10集合的划分，等价关系 
　　§3.11线性空间的同构 
　　§3.12商空间 
　　补充题三 
　　第四章矩阵的运算 
　　§4.1矩阵的加法，数量乘法与乘法运算 
　　§4.2矩阵乘积的秩，坐标变换公式 
　　§4.3 Msxn（K）的基和维数，特殊矩阵 
　　§4.4可逆矩阵 
　　§4.5 n级矩阵乘积的行列式 
　　§4.6矩阵的分块 
　　§4.7 Binet－Cauchy公式 
　　§4.8矩阵的相抵，矩阵的广义逆 
　　补充题四 
　　第五章一元多项式环 
　　§5.1一元多项式环的概念及其通用性质 
　　§5.2带余除法，整除关系 
　　§5.3最大公因式，互素的多项式 
　　§5.4不可约多项式，唯一因式分解定理 
　　§5.5重因式 
　　§5.6多项式的根，多项式函数，复数域上的不可约多项式 
　　阅读材料1拉格朗日（Lagrange）插值公式 
　　§5.7实数域上的不可约多项式 
　　§5.8有理数域上的不可约多项式 
　　§5.9模m剩余类环，域，域的特征 
　　阅读材料2一元分式域 
　　补充题五 
　　第六章线性映射 
　　56.1线性映射的定义和性质 
　　§6.2线性映射的运算 
　　§6.3线性映射的核与像 
　　§6.4线性变换和线性映射的矩阵 
　　§6.5线性变换在不同基下的矩阵之间的关系，相似的矩阵 
　　§6.6线性变换与矩阵的特征值和特征向量 
　　§6.7线性变换与矩阵可对角化的充分必要条件 
　　§6.8线性变换的不变子空间，Hamilton－Cayley定理 
　　§6.9线性变换与矩阵的最小多项式 
　　§6.10幂零变换的Jordan标准形 
　　§6.11线性变换的Jordan标准形 
　　阅读材料3矩阵相似的完全不变量 
　　§6.12*线性变换的有理标准形 
　　阅读材料4矩阵相似的完全不变量（续） 
　　§6.13线性函数，对偶空间 
　　补充题六 
　　第七章双线性函数，二次型 
　　§7.1双线性函数的表达式和性质 
　　§7.2对称和斜对称双线性函数 
　　§7.3双线性函数空间，Witt消去定理 
　　阅读材料5双线性函数的秩 
　　§7.4二次型和它的标准形 
　　§7.5实（复）二次型的规范形 
　　§7.6实（复）正定二次型，正定矩阵 
　　补充题七 
　　第八章具有度量的线性空间 
　　§8.1实线性空间的内积，实内积空间的度量概念 
　　§8.2标准正交基，正交矩阵 
　　§8.3正交补，实内积空间的保距同构 
　　§8.4正交变换 
　　§8.5对称变换，实对称矩阵的对角化 
　　阅读材料6二次曲线的类型，二次曲线的不变量 
　　阅读材料7二次曲面的类型 
　　§8.6酉空间 
　　§8.7酉变换，Hermite变换，Hermite型 
　　§8.8*线性变换的伴随变换，正规变换 
　　§8.9*正交空间与辛空间 
　　补充题八 
　　第九章n元多项式环 
　　§9.1n元多项式环的概念和通用性质 
　　§9.2对称多项式，数域K上一元多项式的判别式 
　　§9.3结式 
　　参考文献
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　　丘维声，北京大学数学科学学院教授，博士生导师，首届全国高等学校***教学名师，美国数学会MathematicalReviews评论员，中国数学会组合数学与图论专业委员会首届常务理事，“国家教委高等学校数学与力学教学指导委员会”（一、二届）成员，中国高等教育学会教育数学专业委员会副理事长，《数学通报》副主编。长期从事高等代数、解析几何、抽象代数、线性代数、群表示论、数学的思维方式与创新等课程的教学工作（主持的“高等代数及习题”课程曾被评为北京大学优秀主干基础课），从事代数组合论、群表示论、编码和密码的研究，发表学术论文46篇。承担国家自然科学基金重点项目2项，主持国家自然科学基金面上项目3项。出版著作40部，译著6部，发表教学改革论文22篇。
　　获奖情况
　　荣获一届全国高等学校***教学名师奖（2003年），三次被评为北京大学很受学生爱戴的十佳教师（1999年，2001年，2006年），获宝钢教育奖优秀教师特等奖（1997年），北京市高等教育教学成果一等奖（1997年），北京大学杨芙清-王阳元院士教学科研特等奖（2006年），三次获北京大学教学优秀奖（1985年，1986年，1996年），被评为全国电大优秀主讲教师（1986年），北京市科学技术先进工作者（1977年）。
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　　《普通高等教育“十二五”规划教材：高等代数》是作者积40多年在北京大学讲授高等代数及相关课程，以及从事科研工作的经验和心得写成的，有许多独到的科学见解。本书鲜明地突出了“研究线性空间的结构及其态射（即线性映射）”这条主线，科学地安排讲授体系：一章线性方程组的解法；第二章行列式；第三章线性空间；第四章矩阵的运算；第五章一元多项式环；第六章线性映射；第七章双线性函数，二次型；第八章具有度量的线性空间；第九章n元多项式环。《普通高等教育“十二五”规划教材：高等代数》精心配备每一节的例题和习题。本书力求使高等代数与几何水乳交融，并按照数学的思维方式编写各章节的内容，使学生既比较容易地学到高等代数的知识，又从中受到数学思维方式的熏陶和训练，另外本书还配有习题答案与提示的全文在线阅读。
　　《普通高等教育“十二五”规划教材：高等代数》可作为综合性大学、理工类大学和高等师范院校的高等代数课程的教材，还可作为高等代数或线性代数课程的教学参考书，也是数学教师和科研工作者高质量的参考书。
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