张量几何（第2版）（英文版）

　　Introduction
　　0. Fundamental Not(at)ions
　　1. Sets
　　2. Functions
　　3. Physical Background
　　1. Real Vector Spaces
　　1. Spaces
　　Subspace geometry， components
　　2. Maps
　　Linearity， singularity， matrices
　　3. Operators
　　Projections， eigenvMues， determinant， trace
　　Ⅱ. Affine Spaces
　　1. Spaces
　　Tangent vectors， parallelism， coordinates
　　2. Combinations of Points
　　Midpoints， convexity
　　3. Maps
　　Linear parts， translations， components
　　Ⅲ. Dual Spaces
　　1. Contours， Co- and Contravariance， Dual Basis
　　Ⅳ. Metric Vector Spaces
　　1. Metrics
　　Basic geometry and examples， Lorentz geometry
　　2. Maps
　　Isometries， orthogonal projections and complements， adjoints
　　3. Coordinates
　　Orthonormal bases
　　4. Diagonalising Symmetric Operators
　　Principal directions， isotropy
　　Ⅴ. Tensors and Multilinear Forms
　　1. Multilinear Forms
　　Tensor Products， Degree， Contraction， Raising Indices
　　Vii Topological Vector Spaces
　　1. Continuity
　　Metrics： topologies， homeomorphisms
　　2. Limits
　　Convergence and continuity
　　3. The Usual Topology
　　Continuity in finite dimensions
　　4. Compactness and Completeness
　　Intermediate Value Theorem， convergence， extrema
　　Ⅶ. Differentiation and Manifolds
　　1. Differentiation
　　Derivative as local linear approxiamation
　　2. Manifolds
　　Charts， maps， diffeomorphisms
　　3. Bundles and Fields
　　Tangent and tensor bundles， metric tensors
　　4. Components
　　Hairy Ball Theorem， transformation formulae， raising indic
　　5. Curves
　　Parametrisation， length， integration
　　6. Vector Fields and Flows
　　First order ordinary differential equations
　　7. Lie Brackets
　　Commuting vector fields and flows
　　Ⅷ. Connections and Covariant Differentiation
　　1. Curves and Tangent Vectors
　　Representing a vector by a curve
　　2. Rolling Without Turning
　　Differentiation along curves in embedded manifolds
　　3. Differentiating Sections
　　Connections horizontal vectors， Christoffel symbols
　　4. Parallel Transport
　　Integrating a connection
　　5. Torsion and Symmetry
　　Torsion tensor of a connection
　　6. Metric Tensors and Connections
　　Levi-Civita connection
　　7. Covariant Differentiation of Tensors
　　Parallel transport， Riccis Lemma， components， constancy
　　Ⅸ. Geodesics
　　1. Local Characterisation
　　Undeviating curves
　　2. Geodesics from a Point
　　Completeness， exponential map， normal coordinates
　　3. Global Characterisation
　　Criticality of length and energy， First Variation Formula
　　4. Maxima， Minima， Uniqueness
　　Saddle points， mirages， Twins Paradox
　　5. Geodesics in Embedded Manifolds
　　Characterisation， examples
　　6. An Example of Lie Group Geometry
　　2x2 matrices as a pseudo-Riemannian manifold
　　Ⅹ. Curvature
　　1. Flat Spaces
　　Intrinsic description of local flatness
　　2. The Curvature Tensor
　　Properties and Components
　　3. Curved Surfaces
　　Ganssian curvature， Gauss-Bonnet Theorem
　　4. Geodesic Deviation
　　Tidal effects in spacetime
　　5. Sectional Curvature
　　Schurs Theorem， constant curvature
　　6. Ricci and Einstein Tensors
　　Signs， geometry， Einstein manifolds， conservation equation
　　7. The Weyl Tensor
　　Ⅺ. Special Relativity
　　1. Orienting Spacetimes
　　Causality， particle histories
　　2. Motion in Flat Spacetime
　　Inertial frames， momentum， rest mass， mass-energy
　　3. Fields
　　Matter tensor， conservation
　　4. Forces
　　No scalar potentials
　　5. Gravitational Red Shift and Curvature
　　Measurement gives a curved metric tensor
　　Ⅻ. General Relativity
　　I. How Geometry Governs Matter
　　Equivalence principle， free fall
　　2. What Matter does to Geometry
　　Einsteins equation， shape of spacetime
　　3. The Stars in Their Courses
　　Geometry of the solar system， Schwarzschild solution
　　4. Farewell Particle Appendix.Existence and Smoothness of Flows
　　1. Completeness
　　2. Two Fixed Point Theorems
　　3. Sequences of Functions
　　4. Integrating Vector Quantities
　　5. The Main Proof
　　6. Inverse Function Theorem
　　Bibliography
　　Index of Notations
　　Index

　　《张量几何(第2版)(英文版)》是Springer数学研究生丛书之一，是一部详细讲述张量几何的教程。书中对微分几何的处理方式，以及学习广义相对论需要的数学知识使得本教程对于稍微了解单变量基本微积分和一些向量代数的知识就可以完全读懂该书的内容。《张量几何(第2版)(英文版)》用以书的形式能够提供的三维或更多维的图的形式使得内容更加形象化，重点强调数学的几何。为了表达的流畅和增强可读性，许多证明都是以练习的形式展示给读者，而非长篇的列举方程。这样，读者只能亲自进行实际计算，而不是跳过现成的例子。
　　这本内容丰富的教程对微分几何在相对论研究中的应用是个巨大的贡献。