现代几何方法和应用（第2卷）

　　CHAPTER1 Examples of Manifolds
　　1. The concept of a manifold
　　1.1. Definition of a manifold
　　1.2. Mappings of manifolds; tensors on manifolds
　　1.3. Embeddings and immersions of manifolds. Manifolds with boundary
　　2. The simplest examples of manifolds
　　2.1. Surfaces in Euclidean space. Transformation groups as manifolds
　　2.2. Projective spaces
　　2.3. Exercises
　　3. Essential facts from the theory of Lie groups
　　3.1. The structure of a neighbourhood of the identity of a Lie groupThe Lie algebra of a Lie group. Semisimplicity
　　3.2. The concept of a linear representation. An example of a non-matrix Lie group
　　4. Complex manifolds
　　4.1. Definitions and examples
　　4.2. Riemann surfaces as manifolds
　　5. The simplest homogeneous spaces
　　5.1. Action of a group on a manifold
　　5.2. Examples of homogeneous spaces
　　5.3. Exercises
　　6. Spaces of constant curvature （symmetric spaces）
　　6.1. The concept of a symmetric space
　　6.2. The isometry group of a manifold. Properties of its Lie algebra
　　6.3. Symmetric spaces of the first and second types
　　6.4. Lie groups as symmetric spaces
　　6.5. Constructing symmetric spaces. Examples
　　6.6. Exercises
　　7. Vector bundles on a manifold
　　7.1. Constructions involving tangent vectors
　　7.2. The normal vector bundle on a submanifold
　　CHAPTER 2 Foundational Questions. Essential Facts Concerning Functions on a Manifold. Typical Smooth Mappings
　　8. Partitions of unity and their applications
　　8.1. Partitions of unity
　　8.2. The simplest applications of partitions of unity. Integrals over a manifold and the general Stokes formula
　　8.3. Ihvariant metrics
　　9. The realization of compact manifolds as surfaces in R
　　10. Various properties of smooth maps of manifolds
　　10.1. Approximation of continuous mappings by smooth ones
　　10.2. Sard's theorem
　　10.3. Transversal regularity
　　10.4. Morse functions
　　11. Applications of Sard's theorem
　　11.1. The existence of embeddings and immersions
　　11.2. The construction of Morse functions as height functions
　　11.3. Focal points
　　CHAPTER 3 The Degree of a Mapping. The Intersection Index of Submanifolds Applications
　　12. The concept of homotopy
　　12.1. Definition of homotopy. Approximation ofcontinuous maps and homotopies by smooth ones
　　12.2. Relative homotopies
　　13. The degree ofa map
　　13.1. Definition ofdegree
　　13.2. Generalizations of the concept ofdegree
　　13.3. Classification of homotopy classes ofmaps from an arbitrary manifold to a sphere
　　13.4. The simplest examples
　　14. Applications of the degree of a mapping
　　14.1. The relationship between degree and integral
　　14.2. The degree of a vector field on a hypersurface
　　14.3. The Whitney number. The Gauss-Bonnet formula
　　14.4. The index of a singular point of a vector field
　　14.5. Transverse surfaces of a vector field. The Poincare-Bendixson theorem
　　15. The intersection index and applications
　　15.1. Definition of the intersection index
　　15.2. The total index of a vector field
　　……
　　CHAPTER 4 Orientability of Manifolds. The Fundamental Group Covering Spaces （Fibre Bundles with Discrete Fibre）
　　16. Orientability and homotopies of closed paths
　　17. The fundamental group
　　18. Covering maps and covering homotopies
　　19. Covering maps and the fundamental group. Computation of the fundamental group of certain manifolds
　　20. The discrete groups of motions of the Lobachevskian plane
　　CHAPTER 5 Homotopy Groups
　　21. Definition of the absolute and relative homotopy groups. Examples
　　22. Covering homotopies. The homotopy groups of covering spaces and loop spaces
　　23. Facts concerning the homotopy groups of spheres. Framed normal bundles. The Hopf invariant
　　CHAPTER 6 Smooth Fibre Bundles
　　24. The homotopy theory of fibre bundles
　　25. The differential geometry of fibre bundles
　　26. Knots and links. Braids
　　CHAPTER 7 Some Examples of Dynamical Systems and Foliations on Manifolds
　　27. The simplest concepts of the qualitative theory of dynamical systems Two-dimensional manifolds
　　28. Hamiltonian systems on manifolds. Liouville's theorem. Examples
　　29. Foliations
　　30. Variational problems involving higher derivatives
　　CHAPTER 8 The Global Structure of Solutions of Higher-Dimensional Variational Problems
　　31. Some manifolds arising in the general theory of relativity （GTR）
　　32. Some examples of global solutions of the Yang-Mills equations Chiral 
　　33. The minimality of complex submanifolds
　　Bibliography
　　Index

　　    Up until recently, Riemannian geometry and basic topology were not included, even by departments or faculties of mathematics, as compulsory subjects in a university-level mathematical education. The standard courses in the classical differential geometry of curves and surfaces which were given instead （and still are given in some places） have come gradually to be viewed as anachronisms. However, there has been hitherto no unanimous agreement as to exactly how such courses should be brought up to date, that is to say, which parts of modern geometry should be regarded as absolutely essential to a modern mathematical education, and what might be the appropriate levelof abstractness of their exposition.