数学思想概论：数学中的演绎推理（第3辑）

　　绪论 数学的推理／1
　　第一讲 基本推理的基础／11
　　1.1 推理的工具：语言／12
　　1.2 推理的对象：命题／16
　　1.3 命题的基础：定义／23
　　1.4 三个基本原则／36
　　第二讲 具有传递关系的推理／44
　　2.1 直言三段论／45
　　2.2 直言三段论的本质／58
　　2.3 传递三段论／64
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　　    抽象和推理是数学的显著特征，与这两个特征关联的思想也就成为数学的核心思想。虽然抽象与推理密不可分，但是，二者对于数学发展的功能和作用各有侧重：通过“抽象”把外部世界引入数学，通过“推理”促进了数学本身的发展。
　　    人们借助推理，把关系概念应用于对象概念，得到数学基本命题。一般来说，形成推理模式以后有两个好处和一个坏处，好处是便于使用和交流，坏处是限制发展。
　　    数学推理模式本质上有两种，即演绎推理与归纳推理。虽然这两种推理相互依存，但就数学结果的获得而言，还是有所区别的。在一般情况下，人们是借助归纳推理“预测”数学结果，借助演绎推理“验证”数学结果。因此，就推理的功能而言，预测结果和推测原因这两种能力依赖的推理形式是归纳推理，而不是演绎推理。虽然数学不是实验科学，也不是经验科学，但是，数学概念的形成依赖于经验，数学推理的过程依赖于思维。

　　绪论 数学的推理／1
　　第一讲 基本推理的基础／11
　　1.1 推理的工具：语言／12
　　1.2 推理的对象：命题／16
　　1.3 命题的基础：定义／23
　　1.4 三个基本原则／36
　　第二讲 具有传递关系的推理／44
　　2.1 直言三段论／45
　　2.2 直言三段论的本质／58
　　2.3 传递三段论／64
　　第三讲 具有递推关系的推理／72
　　3.1 完全归纳法／73
　　3.2 数学归纳法／80
　　3.3 数学归纳法的变化／86
　　第四讲 具有递推关系的运算／100
　　4.1 电子计算机的出现／102
　　4.2 二分法与优选法／107
　　4.3 黄金分割／113
　　4.4 牛顿法／118
　　第五讲 现代数学基础：集合论／125
　　5.1 集合的定义／127
　　5.2 集合论公理化体系／134
　　5.3 选择公理／140
　　5.4 无穷的度量与连续统／151
　　5.5 序集、良序集与超限归纳法／163
　　第六讲 借助符号表示的推／171
　　6.1 符号表示的开始／173
　　6.2 布尔的符号运算及其发展／177
　　6.3 自然数公理体系／188
　　附录
　　中国古代的命题、定义和推理／198
　　人名索引／245
^ 收 起　　

　　    抽象和推理是数学的显著特征，与这两个特征关联的思想也就成为数学的核心思想。虽然抽象与推理密不可分，但是，二者对于数学发展的功能和作用各有侧重：通过“抽象”把外部世界引入数学，通过“推理”促进了数学本身的发展。
　　    人们借助推理，把关系概念应用于对象概念，得到数学基本命题。一般来说，形成推理模式以后有两个好处和一个坏处，好处是便于使用和交流，坏处是限制发展。
　　    数学推理模式本质上有两种，即演绎推理与归纳推理。虽然这两种推理相互依存，但就数学结果的获得而言，还是有所区别的。在一般情况下，人们是借助归纳推理“预测”数学结果，借助演绎推理“验证”数学结果。因此，就推理的功能而言，预测结果和推测原因这两种能力依赖的推理形式是归纳推理，而不是演绎推理。虽然数学不是实验科学，也不是经验科学，但是，数学概念的形成依赖于经验，数学推理的过程依赖于思维。