物理学家用的微分几何和李群

　　Preface
　　Introduction
　　1 The concept of a manifold
　　1.1 Topology and continuous maps
　　1.2 Classes of smoothness of maps of Cartesian spaces
　　1.3 Smooth structure， smooth manifold
　　1.4 Smooth maps of manifolds
　　1.5 A technical description of smooth surfaces in Rn
　　Summary of Chapter 1
　　2 Vector and tensor fields
　　2.1 Curves and functions on M
　　2.2 Tangent space， vectors and vector fields
　　2.3 Integral curves of a vector field
　　2.4 Linear algebra of tensors (multilinear algebra)
　　2.5 Tensor fields on M
　　2.6 Metric tensor on a manifold
　　Summary of Chapter 2
　　3 Mappings of tensors induced by mappings of manifolds
　　3.1 Mappings of tensors and tensor fields
　　3.2 Induced metric tensor
　　Summary of Chapter 3
　　4 Lie derivative
　　4.1 Local flow of a vector field
　　4.2 Lie transport and Lie derivative
　　4.3 Properties of the Lie derivative
　　4.4 Exponent of the Lie derivative
　　4.5 Geometrical interpretation of the commutator [V， W]， non-holonomic frames
　　4.6 Isometries and conformal transformations， Killing equations
　　Summary of Chapter 4
　　5 Exterior algebra
　　5.1 Motivation： volumes of paraUelepipeds
　　5.2 p-forms and exterior product
　　5.3 Exterior algebra AL*
　　5.4 Interior product iv
　　5.5 Orientation in L
　　5.6 Determinant and generalized Kronecker symbols
　　5.7 The metric volume form
　　5.8 Hodge (duality) operator*
　　Summary of Chapter 5
　　6 Differential calculus of forms
　　6.1 Forms on a manifold
　　6.2 Exterior derivative
　　6.3 Orientability， Hodge operator and volume form on M
　　6.4 V-valued forms
　　Summary of Chapter 6
　　7 Integral calculus of forms
　　7.1 Quantities under the integral sign regarded as differential forms
　　7.2 Euclidean simplices and chains
　　7.3 Simplices and chains on a manifold
　　7.4 Integral of a form over a chain on a manifold
　　7.5 Stokes theorem
　　7.6 Integral over a domain on an orientable manifold
　　7.7 Integral over a domain on an orientable Riemannian manifold
　　7.8 Integral and maps of manifolds
　　Summary of Chapter 7
　　8 Particular cases and applications of Stokes theorem
　　8.1 Elementary situations
　　8.2 Divergence of a vector field and Gauss theorem
　　8.3 Codifferential and LaPlace-deRhana operator
　　8.4 Green identities
　　8.5 Vector analysis in E3
　　8.6 Functions of complex variables
　　Summary of Chapter 8
　　9 Poincare lemma and cohomologies
　　9.1 Simple examples of closed non-exact forms
　　9.2 Construction of a potential on contractible manifolds
　　9.3* Cohomologies and deRham complex
　　Summary of Chapter 9
　　10 Lie groups： basic facts
　　10.1 Automorphisms of various structures and groups
　　10.2 Lie groups： basic concepts
　　Summary of Chapter 10
　　11 Differential geometry on Lie groups
　　11.1 Left-invariant tensor fields on a Lie group
　　11.2 Lie algebra g of a group G
　　11.3 One-parameter subgroups
　　11.4 Exponential map
　　11.5 Derived homomorphism of Lie algebras
　　11.6 Invariant integral on G
　　11.7 Matrix Lie groups： enjoy simplifications
　　Summary of Chapter 11
　　12 Representations of Lie groups and Lie algebras
　　12.1 Basic concepts
　　12.2 Irreducible and equivalent representations， Schurs lemma
　　12.3 Adjoint representation， Killing-Cartan metric
　　12.4 Basic constructions with groups， Lie algebras and their representations
　　12.5 Invariant tensors and intertwining operators
　　12.6* Lie algebra cohomologies
　　Summary of Chapter 12
　　13 Actions of Lie groups and Lie algebras on manifolds
　　13.1 Action of a group， orbit and stabilizer
　　13.2 The structure of homogeneous spaces， G/H
　　13.3 Covering homomorphism， coverings SU(2) →SO(3) andSL(2， C)→ L↑+
　　13.4 Representations of G and g in the space of functions on a G-space， fundamental fields
　　13.5 Representations of G and g in the space of tensor fields of type p
　　Summary of Chapter 13
　　14 Hamiltonian mechanics and symplectic manifolds
　　14.1 Poisson and symplectic structure on a manifold
　　14.2 Darboux theorem， canonical transformations and symplectomorphisms
　　14.3 Poincare-Cartan integral invariants and Liouvilles theorem
　　14.4 Symmetries and conservation laws
　　14.5* Moment map
　　14.6* Orbits of the coadjoint action
　　14.7* Symplectic reduction
　　Summary of Chapter 14
　　15 Parallel transport and linear connection on M
　　15.1 Acceleration and parallel transport
　　15.2 Parallel transport and covariant derivative
　　15.3 Compatibility with metric， RLC connection
　　15.4 Geodesics
　　15.5 The curvature tensor
　　15.6 Connection forms and Cartan structure equations
　　15.7 Geodesic deviation equation (Jacobis equation)
　　15.8* Torsion， complete parallelism and fiat connection
　　Summary of Chapter 15
　　16 Field theory and the language of forms
　　16.1 Differential forms in the Minkowski space E13
　　16.2 Maxwells equations in terms of differential forms
　　16.3 Gauge transformations， action integral
　　16.4 Energy-momentum tensor， space-time symmetries and conservation
　　laws due to them
　　16.5* Einstein gravitational field equations， Hilbert and Cartan action
　　16.6* Non-linear sigma models and harmonic maps
　　Summary of Chapter 16
　　17 Differential geometry on TM and T*M
　　17.1 Tangent bundle TM and cotangent bundle T*M
　　17.2 Concept of a fiber bundle
　　17.3 The maps Tf and T*f
　　17.4 Vertical subspace， vertical vectors
　　17.5 Lifts on TM and T*M
　　17.6 Canonical tensor fields on TM and T*M
　　17.7 Identities between the tensor fields introduced here
　　Summary of Chapter 17
　　18 Hamiltonian and Lagrangian equations
　　18.1 Second-order differential equation fields
　　18.2 Euler-Lagrange field
　　18.3 Connection between Lagrangian and Hamiltonian mechanics， Legendre map
　　18.4 Symmetries lifted from the base manifold (configuration space)
　　18.5 Time-dependent Hamiltonian， action integral
　　Summary of Chapter 18
　　19 Linear connection and the frame bundle
　　19.1 Frame bundle π ： LM→M
　　19.2 Connection form on LM
　　19.3 k-dimensional distribution D on a manifold.M
　　19.4 Geometrical interpretation of a connection form： horizontal distribution on LM
　　19.5 Horizontal distribution on LM and parallel transport on M
　　19.6 Tensors on M in the language of LM and their parallel transport
　　Summary of Chapter 19
　　20 Connection on a principal G-bundle
　　20.1 Principal G-bundles
　　21 Gauge theories and connections
　　22* Spinor fields and the Dirac operator
　　Appendix A Some relevant algebraic structures
　　A.I Linear spaces
　　A.2 Associative algebras
　　A.3 Lie algebras
　　A.4 Modules
　　A.5 Grading
　　A.6 Categories and functors
　　Appendix B Starring
　　Bibliography
　　Index of (frequently used) symbols
　　Index

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