研究生教学用书：泛函分析教程

　　第一章  线性泛函分析基础
　　1.1  拓扑空间
　　1.1.1  拓扑空间的概念
　　1.1.2  网
　　1.1.3  连续映射
　　1.1.4  距离空间
　　1.1.5  距离空间的完备性
　　1.2  拓扑线性空间
　　1.2.1  拓扑线性空间的概念
　　1.2.2  赋准范线性空间
　　1.2.3  赋范线性空间
　　1.2.4  内积空间
　　1.2.5  一致凸空间和严格凸空间
　　1.3  紧性
　　1.3.1  紧集的概念
　　1.3.2  紧集上的连续映射
　　1.3.3  Zorn引理
　　1.3.4  紧空间的乘积空间
　　1.3.5  Stone-Weierstrass定理
　　1.3.6  距离空间中的列紧集与完全有界集
　　1.3.7  有限维赋范线性空间的特征
　　1.3.8  Banach-Alaoglu定理
　　1.3.9  Hilbert空间单位球的弱紧性
　　1.4  Hahn-Banach定理及其几何形式
　　1.4.1  线性空间上线性泛函的延拓
　　1.4.2  赋范线性空间上连续线性泛函的延拓
　　1.4.3  自反空间
　　1.4.4  连续线性泛函保范延拓的唯一性
　　1.4.5  凸集的分离性
　　1.4.6  端点、Krein-Milman定理
　　1.5  线性算子基本定理
　　1.5.1  开映射定理
　　1.5.2  逆算子定理和范数等价定理
　　1.5.3  闭图像定理
　　1.5.4  共鸣定理
　　1.5.5  应用
　　1.5.6  Schauder基
　　1.5.7  点列的收敛性
　　1.5.8  泛函序列和算子序列的收敛性
　　习题
　　第二章  谱论Ⅰ：Banach空间上的紧算子及Fredholm算子
　　2.1  Banach代数中元素的谱
　　2.1.1  代数和理想
　　2.1.2  赋范代数
　　2.1.3  Banach代数中元素的谱
　　2.2  线性算子的谱
　　2.2.1  线性算子谱的概念
　　2.2.2  线性算子谱的分类
　　2.2.3  近似谱点
　　2.2.4  共轭算子及共轭算子的谱
　　2.3  紧算子
　　2.3.1  有限秩算子
　　2.3.2  紧算子的概念
　　2.3.3  紧算子的Ricsz-Schauder理论
　　2.3.4  Banach空间的直和分解
　　2.3.5  紧算子的Ricsz-Schauder理论(续)
　　2.4  Fredholm算子
　　2.4.1  Fredholm算子的概念
　　2.4.2  Fredholm算子的性质
　　习题
　　第三章  谱论Ⅱ：Hilbert空间上的正规算子
　　3.1  Banach代数的Gelfand表示
　　3.1.1  可乘线性泛函
　　3.1.2  Gclfand表示
　　3.1.3  极大理想空间
　　3.2  C*代数
　　3.2.1  C*代数的概念
　　3.2.2  C*代数中的正规元
　　3.2.3  Gelfand-Naimark定理
　　3.2.4  GNS构造
　　3.3  谱测度和谱积分
　　3.3.1  投影算子
　　3.3.2  谱测度与谱积分
　　3.3.3  谱系
　　3.4  Hilbert空间上正规算子的谱分解
　　3.4.1  谱定理与函数演算
　　3.4.2  函数演算的扩充
　　3.4.3  正规算子的谱分解定理
　　3.4.4  正规算子的谱
　　3.4.5  Hilbert空间上紧算子的结构
　　3.4.6  正规算子的本质谱
　　3.4.7  von Neumann代数
　　习题
　　第四章  无界算子
　　4.1  对称算子和自伴算子
　　4.1.1  稠定算子的共轭算子
　　4.1.2  对称算子与自伴算子的概念
　　4.1.3  算子的图像
　　4.1.4  对称算子为自伴算子的条件
　　4.1.5  自伴算子的谱
　　4.1.6  Cayley变换
　　4.1.7  无界函数的谱积分
　　4.1.8  自伴算子的谱分解定理
　　4.1.9  L2(-∞，+∞)上的乘法算子
　　4.2  对称算子的自伴扩张
　　4.2.1  闭对称算子的亏指数
　　4.2.2  正定双线性泛函
　　4.2.3  半有界算子的Friedrichs扩张定理
　　4.3  自伴算子的扰动
　　4.3.1  可闭算子的扰动
　　4.3.2  自伴算子的扰动
　　4.3.3  自伴算子在扰动下的谱
　　4.4  无界算子序列的收敛性
　　4.4.1  预解意义下的收敛性
　　4.4.2  图意义下的收敛性
　　习题
　　第五章  算子半群
　　5.1  向量值函数
　　5.1.1  向量值函数的连续性
　　5.1.2  向量值函数的可导性
　　5.1.3  向量值函数的Ricmann积分
　　5.1.4  向量值函数的可测性
　　5.1.5  强可测与弱可测的关系
　　5.1.6  算子值可测函数
　　5.2  Bochner积分和Pettis积分
　　5.2.1  Pettis积分
　　5.2.2  Bochner积分
　　5.2.3  Bochner积分的性质
　　5.3  算子半群的概念
　　5.3.1  算子半群概念的由来
　　5.3.2  C0类算子半群
　　5.3.3  算子半群的一些例子
　　5.4  C0类算子半群的表示
　　5.4.1  C0类算子半群无穷小母元的概念
　　5.4.2  无穷小母元的预解式
　　5.4.3  C0类算子半群的表示
　　5.5  无穷小母元的特征
　　5.5.1  C0类算子半群无穷小母元的特征
　　5.5.2  标准型C0类算子半群母元的特征
　　5.5.3  C0类压缩半群母元的特征
　　5.5.4  Hilben空间上C0类压缩半群母元的特征
　　5.6  单参数酉算子群、Stone定理
　　5.6.1  单参数算子群的无穷小母元
　　5.6.2  Stone定理
　　5.6.3  Stone定理的应用：Bochner定理
　　5.7  遍历定理
　　5.7.1  相空间上的保测变换
　　5.7.2  Boltzmann遍历假设
　　5.7.3  不可压缩稳定流
　　5.7.4  遍历定理
　　5.7.5  变换群的遍历性
　　习题
　　第六章  无穷维空间的微分学
　　6.1  映射的微分
　　6.1.1  Gatcaux微分
　　6.1.2  Frechet微分
　　6.1.3  高阶导数
　　6.1.4  Taylor公式
　　6.1.5  幂级数
　　6.2  隐函数定理
　　6.2.1  Cp映射与微分同胚
　　6.2.2  隐函数的存在性
　　6.2.3  隐函数的可微性
　　6.3  泛函极值
　　6.3.1  线性方程的解与二次泛函的极小问题
　　6.3.2  泛函极值的必要条件
　　6.3.3  泛函极值的存在性：下半弱连续条件
　　6.3.4  最速下降法
　　6.3.5  泛函极值的存在性：Palais-Smale条件
　　习题
　　第七章  拓扑度
　　7.1  Brouwcr度
　　7.1.1  C1类映射的拓扑度(非临界点情形)
　　7.1.2  3个引理
　　7.1.3  C1类映射的拓扑度(一般情形)
　　7.1.4  Brouwcr度
　　7.1.5  Brouwcr度的性质
　　7.2  Leray-Schauder度
　　7.2.1  一个例子
　　7.2.2  全连续映射
　　7.2.3  Leray-Schauder度的定义
　　7.2.4  Leray-Schauder度的性质
　　7.3  不动点定理及其应用
　　7.3.1  Brouwer不动点定理
　　7.3.2  Schauder不动点定理
　　7.3.3  非紧性测度
　　7.3.4  集压缩映射的不动点
　　7.3.5  Kakutani不动点定理
　　7.3.6  应用：代数学基本定理
　　7.3.7  应用：不变子空间
　　7.3.8  应用：对策论基本定理
　　习题
　　参考文献

　　《研究生教学用书·泛函分析教程》是研究生泛函分析教材。全书共7章，以概述线性泛函分析的基本理论为入口，分别介绍了Banach空间上紧算子和Fredholm算子、Banach代数、C*代数初步和Hilbert空间上正规算子的谱分析、无界算子、算子半群、无限维空间上的微分学、拓扑度理论等。《研究生教学用书·泛函分析教程》既注意以现代数学的观点统率各章节内容，突出泛函分析中重要的基本理论，也精选了在应用中受到普遍关注的若干题材，同时还配备了一定数量的难易不等的习题，以利读者加深理解，启发思考。