分析流形和物理学（第1卷·基础·修订版）

　　i. review of fundamental notions of analysis
　　a. set theory， definitions
　　1. sets
　　2. mappings
　　3. relations
　　4. orderings
　　b. algebraic structures， definitions
　　1. groups
　　2. rings
　　3. modules
　　4. algebras
　　5. linear spaces
　　c. topology
　　1. definitions
　　2. separation
　　3. base
　　4. convergence
　　5. covering and compactness
　　6. connectedness
　　7. continuous mappings
　　8. multiple connectedness
　　9. associated topologies
　　10. topology related to other structures
　　11. metric spaces
　　metric spaces
　　cauchy sequence; completeness
　　12. banach spaces
　　normed vector spaces
　　banach spaces
　　strong and weak topology; compactedness
　　13. hilbert spaces
　　d. integration
　　1. introduction
　　2. measures
　　3. measure spaces
　　4. measurable functions
　　5. lntegrable functions
　　6. integration on locally compact spaces
　　7. signed and complex measures
　　8. integration of vector valued functions
　　9. l1 space
　　10. l1 space
　　e. key theorems in linear functional analysis
　　1. bounded linear operators
　　2. compact operators
　　3. open mapping and closed graph theorems
　　problems and exercises
　　problem 1： clifford algebra; spin（4）
　　exercise 2： product topology
　　problem 3： strong and weak topologies in l2
　　exercise 4： htlder spaces
　　see problem vi 4： application to the schrtdinger equation
　　ii. differential calculus on banach spaces
　　a. foundations
　　1. definitions. taylor expansion
　　2. theorems
　　3. diffeomorphisms
　　4. the euler equation
　　5. the mean value theorem
　　6. higher order differentials
　　b. calculus of variations
　　1. necessary conditions for minima
　　2. sufficient conditions
　　3. lagrangian problems
　　c. implicit function theorem. inverse function theorem
　　1. contracting mapping theorems
　　2. inverse function theorem
　　3. implicit function theorem
　　4. global theorems
　　d. differential equations
　　1. first order differential equation
　　2. existence and uniqueness theorems for the lipschitzian case
　　problems and exercises
　　problem 1： banach spaces， first variation， linearized equation
　　problem 2： taylor expansion of the action; jacobi fields; the feynman-green function; the van vleck matrix; conjugate points; caustics
　　problem 3： euler-lagrange equation; the small disturbance equation; the soap bubble problem; jacobi fields
　　iii. differentiable manifolds， finite dimensional case
　　a. definitions
　　1. differentiable manifolds
　　2. diffeomorphisms
　　3. lie groups
　　b. vector fields; tensor fields
　　1. tangent vector space at a point
　　tangent vector as a derivation
　　tangent vector defined by transformation properties
　　tangent vector as an equivalence class of curves
　　images under differentiable mappings
　　2. fibre bundles
　　definition
　　bundle morphisms
　　tangent bundle
　　frame bundle
　　principal fibre bundle
　　3. vector fields
　　vector fields
　　moving frames
　　images under cliffeomorphisms
　　4. covariant vectors; cotangent bundles
　　dual of the tangent space
　　space of differentials
　　cotangent bundle
　　reciprocal images
　　5. tensors at a point
　　tensors at a point
　　tensor algebra
　　6. tensor bundles; tensor fields
　　c. groups of transformations
　　i. vector fields as generators of transformation groups
　　2. lie derivatives
　　3. invariant tensor fields
　　d. lie groups
　　1. definitions; notations
　　2. left and right translations; lie algebra; structure constants
　　3. one-parameter subgroups
　　4. exponential mapping; taylor expansion; canonical coordinates
　　5. lie groups of transformations; realization
　　6. adjoint representation
　　7. canonical form， maurer--cartan form
　　problems and exercises
　　problem 1： change of coordinates on a fiber bundle， configuration space， phase space
　　problem 2： lie algebras of lie groups
　　problem 3： the strain tensor
　　problem 4： exponential map; taylor expansion; adjoint map; left and right differentials; haar measure
　　problem 5： the group manifolds of soo） and su（2）
　　problem 6： the 2-sphere
　　iv. integration on manifolds
　　a. exterior differential forms
　　1. exterior algebra
　　exterior product
　　local coordinates; strict components
　　change of basis
　　2. exterior differentiation
　　3. reciprocal image of a form （pull back）
　　4. derivations and antiderivations
　　definitions
　　interior product
　　5. forms defined on a lie group
　　invariant forms
　　maurer--cartan structure equations
　　6. vector valued differential forms
　　b. integration
　　1. integration
　　orientation
　　odd forms
　　integration of n-forms in r"
　　partitions of unity
　　properties of integrals
　　2. stokes theorem
　　p-chains
　　integrals of p-forms on p-chains
　　boundaries
　　mappings of chains
　　proof of stokes theorem
　　3. global properties
　　homology and cohomology
　　o-forms and o-chains
　　betti numbers
　　poincar6 lemmas
　　de rham and poincare duality theorems
　　c exterior differential systems
　　1. exterior equations
　　2. single exterior equation
　　3. systems of exterior equations
　　ideal generated by a system of exterior equations
　　algebraic equivalence
　　solutions
　　examples
　　4. exterior differential equations
　　integral manifolds
　　associated pfaff systems
　　generic points
　　closure
　　5. mappings of manifolds
　　introduction
　　immersion
　　embedding
　　submersion
　　6. pfaff systems
　　complete integrability
　　frobenius theorem
　　integrability criterion
　　examples
　　dual form of the frobenius theorem
　　7. characteristic system
　　characteristic manifold
　　example： first order partial differential equations
　　complete integrability
　　construction of integral manifolds
　　cauchy problem
　　examples
　　8. invariants
　　invariant with respect to a pfaff system
　　integral invariants
　　9. example： integral invariants of classical dynamics
　　liouville theorem
　　canonical transformations
　　10. symplectic structures and hamiltonian systems
　　problems and exercises
　　problem 1： compound matrices
　　problem 2：poincar6 lemma， maxwell equations， wormholes
　　problem 3： integral manifolds
　　problem 4： first order partial differential equations， hamilton-jacobi
　　equations， lagrangian manifolds
　　problem 5： first order partial differential equations， catastrophes
　　problem 6： darboux theorem
　　problem 7： time dependent hamiltonians
　　see problem vi 11 paragraph c： electromagnetic shock waves
　　v. riemannian manifolds. kahlerian manifolds
　　a. the riemannian structure
　　1. preliminaries
　　metric tensor
　　hyperbolic manifold
　　2. geometry of submanifolds， induced metric
　　3. existence of a riemannian structure
　　proper structure
　　hyperbolic structure
　　euler-poincare characteristic
　　4. volume element. the star operator
　　volume element
　　star operator
　　5. isometries
　　b. linear connections
　　1. linear connections
　　covariant derivative
　　connection forms
　　parallel translation
　　affine geodesic
　　torsion and curvature
　　2. riemannian connection
　　definitions
　　locally flat manifolds
　　3. second fundamental form
　　4. differential operators
　　exterior derivative
　　operator
　　divergence
　　laplacian
　　c. geodesics
　　1. arc length
　　2. variations
　　euler equations
　　energy integral
　　3. exponential mapping
　　definition
　　normal coordinates
　　4. geodesics on a proper riemannian manifold
　　properties
　　geodesic completeness
　　5. geodesics on a hyperbolic manifold
　　d. almost complex and kahlerian manifolds
　　problems and exercises
　　problem 1 maxwell equation; gravitational radiation
　　problem 2： the schwarzschild solution
　　problem 3： geodetic motion; equation of geodetic deviation; exponentiation; conjugate points
　　problem 4： causal structures; conformal spaces; weyl tensor
　　vbis. connections on a principal fibre bundle
　　a. connections on a principal fibre bundle
　　1. definitions
　　2. local connection l-forms on the base manifold
　　existence theorems
　　section canonically associated with a trivialization
　　potentials
　　change of trivialization
　　examples
　　3. covariant derivative
　　associated bundles
　　parallel transport
　　covariant derivative
　　examples
　　4. curvature
　　definitions
　　cartan structural equation
　　local curvature on the base manifold
　　field strength
　　bianchi identities
　　5. linear connections
　　definition
　　soldering form， torsion form
　　torsion structural equation
　　standard horizontal （basic） vector field
　　curvature and torsion on the base manifold
　　bundle homomorphism
　　metric connection
　　b. hoionomy
　　1. reduction
　　2. holonomy groups
　　c. characteristic classes and invariant curvature integrals
　　1. characteristic classes
　　2. gauss-bonnet theorem and chern numbers
　　3. the atiyah-singer index theorem
　　problems and exercises
　　problem 1： the geometry of gauge fields
　　problem 2： charge quantization. monopoles
　　problem 3： instanton solution of euclidean su（2） yang-mills theory （connection on a non-trivial su（2） bundle over s4）
　　problem 4： spin structure; spinors; spin connections
　　vi. distributions
　　a. test functions
　　1. seminorms
　　definitions
　　hahn-banach theorem
　　topology defined by a family of seminorms
　　2. d-spaces
　　definitions
　　inductive limit topology
　　convergence in dm（u） and d（u）
　　examples of functions in
　　truncating sequences
　　density theorem
　　b. distributions
　　1. definitions
　　distributions
　　measures; dirac measures and leray forms
　　distribution of order p
　　support of a distribution
　　distributions with compact support
　　2. operations on distributions
　　sum
　　product by c function
　　direct product
　　derivations
　　examples
　　inverse derivative
　　3. topology on d
　　weak star topology
　　criterion of convergence
　　4. change of variables in rn
　　change of variables in rn
　　transformation of a distribution under a diffeomorphism
　　invariance
　　5. convolution
　　convolution algebra l1（rn）
　　convolution algebra d+ and d-
　　derivation and translation of a convolution product
　　regularization
　　support of a convolution
　　equations of convolution
　　differential equation with constant coefficients
　　systems of convolution equations
　　kernels
　　6. fourier transform
　　fourier transform of integrable functions
　　tempered distributions
　　fourier transform of tempered distributions
　　paley-wiener theorem
　　fourier transform of a convolution
　　7. distribution on a c∞ paracompact manifold
　　8. tensor distributions
　　c. sobolev spaces and partial differential equations
　　i. sobolev spaces
　　properties
　　density theorems
　　w? spaces
　　fourier transform
　　plancherel theorem
　　sobolevs inequalities
　　2. partial differential equations
　　definitions
　　cauchy-kovalevski theorem
　　classifications
　　3. elliptic equations; laplacians
　　elementary solution of laplaces equation
　　subharmonic distributions
　　potentials
　　energy integral， greens formula， unicity theorem
　　liouvilles theorem
　　boundary-value problems
　　green function
　　introduction to hilbertian methods; generalized dirichlet problem
　　hilbertian methods
　　example： neumann problem
　　4. parabolic equations
　　heat diffusion
　　5. hyperbolic equation; wave equations
　　elementary solution of the wave equation
　　cauchy problem
　　energy integral， unicity theorem
　　existence theorem
　　6. leray theory of hyperbolic systems
　　7. second order systems; propagators
　　problems and exercises
　　problem 1： bounded distributions
　　problem 2： laplacian of a discontinuous function
　　exercise 3： regularized functions
　　problem 4： application to the schrbdinger equation
　　exercise 5： convolution and linear continuous responses
　　problem 6： fourier transforms of exp （-x2） and exp （ix2）
　　problem 7： fourier transforms of heaviside functions and pr（l/x）
　　problem 8： dirac bitensors
　　problem 9： legendre condition
　　problem 10： hyperbolic equations; characteristics
　　problem 11： electromagnetic shock waves
　　problem 12： elementary solution of the wave equation
　　problem 13： elementary kernels of the harmonic oscillator
　　vii. differentiable manifolds， infinite dimensional case
　　a. infinite-dimensional manifolds
　　1. definitions and general properties
　　e-manifolds
　　differentiable functions
　　tangent vector
　　vector and tensor field
　　differential of a mapping
　　submanifold
　　immersion， embedding， submersion
　　flow of a vector field
　　differential forms
　　2. symplectic structures and hamiltonian systems
　　definitions
　　complex structures
　　canonical symplectic form
　　symplectic transformation
　　hamiltonian vector field
　　conservation of energy theorem
　　riemannian manifolds
　　b. theory of degree; leray-schauder theory
　　i. definition for finite dimensional manifolds
　　degree
　　integral formula for the degree of a function
　　continuous mappings
　　2. properties and applications
　　fundamental theorem
　　borsuks theorem
　　brouwers fixed point theorem
　　product theorem
　　3. leray-schauder theory
　　definitions
　　compact mappings
　　degree of a compact mapping
　　schauder fixed point theorem
　　leray-schauder theorem
　　c. morse theory
　　1. introduction
　　2. definitions and theorems
　　3. index of a critical point
　　4. critical neck theorem
　　d. cylindrical measures， wiener integral
　　1. introduction
　　2. promeasures and measures on a locally convex space
　　projective system
　　promeasures
　　image of a promeasure
　　integration with respect to a promeasure of a cylindrical
　　function
　　fourier transforms
　　3. gaussian promeasures
　　gaussian measures on rn
　　gaussian promeasures
　　gaussian promeasures on hilbert spaces
　　4. the wiener measure
　　wiener integral
　　sequential wiener integral
　　problems and exercises
　　problem a： the klein-gordon equation
　　problem b： application of the leray-schauder theorem
　　problem c1： the reeb theorem
　　problem c2： the method of stationary phase
　　problem d1： a metric on the space of paths with fixed end points
　　problem d2： measures invariant under translation
　　problem d3： cylindrical σ-field of c（[a， b]）
　　problem d4： generalized wiener integral of a cylindrical function
　　references
　　symbols
　　index

　　    All too often in physics familiarity is a substitute for understanding， andthe beginner who lacks familiarity wonders which is at fault： physics orhimself. Physical mathematics provides well defined concepts and techni-ques for the study of physical systems. It is more than mathematicaltechniques used in the solution of problems which have already beenformulated; it helps in the very formulation of the laws of physicalsystems and brings a better understanding of physics. Thus physicalmathematics includes mathematics which gives promise of being useful inour analysis of physical phenomena. Attempts to use mathematics for thispurpose may fail because the mathematical tool is too crude; physics maythen indicate along which lines it should be sharpened. In fact， theanalysis of physical systems has spurred many a new mathematicaldevelopment.
　　    Considerations of relevance to physics underlie the choice of materialincluded here. Any choice is necessarily arbitrary; we included first thetopics which we enjoy most but we soon recognized that instant gratifica-tion is a short range criterion. We then included material which can beappreciated only after a great deal of intellectual asceticism but which maybe farther reaching. Finally， this book gathers the starting points of somegreat currents of contemporary mathematics. It is intended for anadvanced physical mathematics course.