序言
前言
第一章 距离空间
1.1 距离空间的定义及例子
1.2 距离空间中点列的收敛
1.3 距离空间中的点集理论
1.4 连续映射
1.5 稠密与稀疏及可分性
1.6 完备的距离空间
1.6.1 完备空间的概念
1.6.2 完备空间的例子
1.6.3 完备距离空间的两个重要定理
1.6.4 距离空间的完备化
1.7 列紧集
1.7.1 列紧性
1.7.2 几个具体空间中点集列紧性的判定
1.7.3 紧性
1.8 习题
第二章 赋范线性空间内积空间
2.1 线性空间
2.2 线性运算与距离的结合问题
2.3 赋范线性空间与Banach空间
2.4 有限维赋范线性空间
2.4.1 完备性
2.4.2 范数的等价性
2.4.3 紧性
2.5 Banach不动点定理及其应用
2.6 Hilbert空间
2.6.1 内积空间与Hilbert空间的基本概念
2.6.2 内积空间和赋范空间的关系
2.7 直交与投影
2.8 Hilbert空间中的坐标系
2.9 习题二
第三章 拓扑空间
3.1 拓扑空间
3.1.1 拓扑空间的基本概念
3.1.2 可数性公理及分离性公理
3.1.3 紧性与列紧
3.1.4 连通与道路连通
3.1.5 Zorn引理
3.2 Urysohn引理与Tietze扩张定理
3.2.1 Urysohn引理
3.2.2 Tietze扩张定理
3.3 网的收敛理论
3.3.1 网
3.3.2 子网与聚点
3.3.3 泛网
3.4 Tychonoff定理
……
第四章 有界线性算子与连续线性泛函
4.1 有界线性算子
4.2 有界线性算子空间与共轭空间
4.3 全连续线性算子
4.4 Hahn—Banach泛函延拓定理
4.5 共鸣定理
4.6 弱收敛
4.7 闭图像定理和逆算子定理
4.8 自反空间与共轭算子
4.9 习题四
第五章 局部凸空间
5.1 拓扑线性空间
5.2 局部凸空间
5.3 凸集与凸性
5.4 度量化与赋范化
5.5 凸集分离定理
5.6 习题五
第六章 弱拓扑
6.1 对偶定理
6.2 Alaoglu定理
6.3 自反空间
6.4 Eberlein—Shmulyan定理
6.5 习题六
第七章 Hilbert空间中的谱理论
7.1 自共轭算子
7.2 投影算子与非负算子
7.3 自共轭算子的谱分解
7.4 酉算子的谱分解
7.5 正常算子的谱分解
7.6 习题七
第八章 抽象函数
8.1 抽象函数的简单性质
8.2 抽象函数的可导性与Riemann积分
8.3 抽象可测函数
8.4 实可测函数的Pettis积分与Bochner积分
8.5 习题八
第九章 Banach代数
9.1 基本定义和例子
9.2 理想和商
9.3 谱理论
9.4 Riesz函数演算
9.5 线性算子和紧线性算子的谱
9.6 习题九
第十章 C*代数
10.1 基本定义和性质
10.2 Gelfand变换
10.3 交换C*代数上的函数演算
10.4 C*代数的正锥
10.5 C*代数的表示定理和Gelfand—Naimark—Segal构造
10.6 谱测度和交换C*代数的表示定理
10.7 正常算子的谱理论
10.8 习题十
参考文献
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