代数特征值问题

　　第一章 理论基础
　　引言
　　定义
　　转置矩阵的特征值与特征向量
　　不相同的特征值
　　相似变换
　　重特征值与一般矩阵的标准型
　　亏损特征向量系
　　Jordan 经典的 标准型
　　初等因子
　　A的特征多项式的友矩阵
　　非减次矩阵
　　Frobenius 有理的 标准型
　　Jordan标准型与Frobenius标准型的关系
　　相抵变换
　　矩阵
　　初等运算
　　Smith标准型
　　矩阵的k行子式的最大公因子
　　A-I 的不变因子
　　三角标准型
　　Hermite矩阵与对称矩阵
　　Hermite矩阵的基本性质
　　复对称矩阵
　　用酉变换化成三角型
　　二次型
　　正定性的充要条件
　　常系数微分方程
　　对应于非线性初等因子的解
　　高阶微分方程
　　特殊形式的二阶方程
　　By=-Ay的显式解
　　形如 AB-I x=0的方程
　　向量的最小多项式
　　矩阵的最小多项式
　　Cayley-Hamilton定理
　　最小多项式与标准型的关系
　　主向量
　　初等相似变换
　　初等矩阵的性质
　　用初等相似变换化成三角标准型
　　初等酉变换
　　初等酉Hermite矩阵
　　用初等酉变换化成三角型
　　正规矩阵
　　可交换矩阵
　　AB的特征值
　　向量与矩阵的范数
　　从属的矩阵范数
　　Euclid范数与谱范数
　　范数与极限
　　避免使用矩阵无穷级数
　　第二章 摄动理论
　　引言
　　关于特征值连续性的Ostrowski定理
　　代数函数
　　数值例题
　　单特征值的摄动理论
　　对应特征向量的摄动
　　具有线性初等因子的矩阵
　　特征值的一阶摄动
　　特征向量的一阶摄动
　　高阶摄动
　　重特征值
　　Gerschgorin定理
　　基于Gerschgorin定理的摄动理论
　　情形1具有线性初等因子矩阵的单特征值1的摄动
　　情形2具有线性初等因子矩阵的重特征值1的摄动
　　情形3具有一个或多个非线性初等因子矩阵的单特征
　　值的摄动
　　情形4相应于非减次矩阵非线性因子的特征值的摄动
　　情形5当有一个以上 i- 幂次的初等因子且至
　　少有一个为非线性时， 特征值i的摄动
　　相应于非线性因子一般分布的摄动
　　根据Jordan标准型的特征向量的摄动理论
　　相应于重特征值 线性初等因子 的特征向量的摄动
　　摄动理论的限度
　　si之间的关系
　　计算问题的条件
　　条件数
　　矩阵A关于特征值问题的谱条件数
　　谱条件数的性质
　　条件数的不变性
　　非常病态的矩阵
　　实对称矩阵的摄动理论
　　非对称摄动
　　对称摄动
　　经典方法
　　秩为1的对称矩阵
　　特征值的极值性质
　　特征值的极小-极大性质
　　两个对称矩阵之和的特征值
　　实际应用
　　极小-极大原理的进一步应用
　　分隔定理
　　Wielandt-Hoffman定理
　　第三章 误差分析
　　引言
　　定点运算
　　内积的累加
　　浮点运算
　　误差界的简化表示
　　某些基本浮点计算的误差界
　　误差矩阵的范数的界
　　浮点运算中内积的累加
　　某些基本fl2
　　计算的误差界
　　平方根的计算
　　块浮点向量和矩阵
　　t位计算的基本限制
　　用相似变换作简化的特征值方法
　　基于初等非酉变换方法的误差分析
　　基于初等酉变换的方法的误差分析
　　酉变换的优越性
　　实对称矩阵
　　酉变换的限度
　　用浮点计算的平面旋转的误差分析
　　用平面旋转的乘法
　　用一系列平面旋转做乘法
　　近似的平面旋转乘积的误差
　　相似变换的误差
　　对称矩阵
　　定点运算的平面旋转
　　sin和cos的另一种算法
　　用近似的定点旋转左乘
　　用一系列平面旋转相乘 定点
　　一组近似平面旋转的计算乘积
　　相似变换的误差
　　关于误差界的总评述
　　浮点计算的初等Hermite矩阵
　　初等Hermite矩阵计算的误差分析
　　数值例子
　　用近似的初等Hermite矩阵左乘
　　用近似的初等Hermite矩阵序列的乘法
　　类似平面旋转的非酉初等矩阵
　　类似于初等Hermite矩阵的非酉初等矩阵
　　用非酉矩阵序列左乘
　　先验的误差界
　　正规性的偏离
　　简单的例子
　　后验的界
　　正规矩阵的后验的界
　　Rayleigh商
　　Rayleigh商的误差
　　Hermite矩阵
　　病态地靠近的特征值
　　非正规矩阵
　　完全特征系的误差分析
　　数值例子
　　限制可达精度的条件
　　非线性初等因子
　　近似的不变子空间
　　几乎正规矩阵
　　第四章 线性代数方程组的解法
　　引言
　　摄动理论
　　条件数
　　平衡矩阵
　　简单的实际例子
　　特征向量矩阵的条件
　　显式解
　　对矩阵条件的总评述
　　病态和几乎奇异的关系
　　t位运算的限制
　　解线性方程组的算法
　　Gauss消去法
　　三角形分解
　　三角形分解矩阵的结构
　　三角形矩阵元素的显式表达式
　　Gauss消去法的中断
　　数值稳定性
　　交换的重要性
　　数值例子
　　Gauss消去法的误差分析
　　用定点运算的摄动矩阵的上界
　　约化后的矩阵元素的上界
　　全主元素
　　部分主元素方法的实际过程
　　浮点误差分析
　　不选主元素的浮点分解
　　有效位的损失
　　流传的谬误
　　特殊形式的矩阵
　　在高速计算机上的Gauss消去法
　　对应不同的右端的解
　　直接的三角形分解
　　Gauss消去法和直接的三角形分解的关系
　　分解不唯一和失败的例子
　　有行交换的三角形分解
　　三角形分解的误差分析
　　行列式计算
　　Cholesky分解
　　对称非正定矩阵
　　定点运算Cholesky分解的误差分析
　　病态矩阵
　　用初等Hermite矩阵的三角形化
　　Householder三角形化的误差分析
　　用Mji型初等稳定矩阵的三角形化
　　前主子式的计算
　　用平面旋转的三角形化
　　Givens约化的误差分析
　　正交三角形化的唯一性
　　Schmidt正交化
　　三角形化方法的比较
　　向后回代
　　三角形方程组的计算解的高精度
　　一般的方程组的解
　　一般矩阵的逆的计算
　　计算解的精度
　　没有小主元素的病态矩阵
　　近似解的迭代改进
　　迭代过程中舍入误差的影响
　　定点计算的迭代过程
　　迭代过程的一个简单例子
　　迭代过程的总评述
　　有关的迭代法
　　迭代过程的极限
　　迭代法的严格的调整
　　第五章 Hermite矩阵
　　引言
　　实对称矩阵的经典Jacobi方法
　　收敛率
　　收敛于固定的对角矩阵
　　顺序Jacobi方法
　　Gerschgorin圆
　　Jacobi方法的最后的二次收敛性
　　靠近的和重的特征值
　　数值例子
　　cos和sin的计算
　　更简单的转角计算方法
　　过关Jacobi方法
　　特征向量计算
　　数值例子
　　Jacobi方法的舍入误差
　　计算的特征向量的精确度
　　用定点计算的误差界
　　程序编制问题
　　Givens方法
　　在有两级存储设备的计算机上实现Givens方法
　　Givens方法的浮点误差分析
　　定点误差分析
　　数值例子
　　Householder方法
　　利用对称性
　　存储方案的研究
　　在有内. 外存储设备的计算机上实现Householder方法
　　用定点运算的Householder方法
　　数值例子
　　Householder方法的误差分析
　　对称三对角矩阵的特征值
　　Sturm序列性质
　　分半法
　　分半法的数值稳定性
　　数值例子
　　关于分半法的总评述
　　小特征值
　　靠近的特征值和小Bi
　　特征值的定点计算
　　三对角型的特征向量计算
　　特征向量显式表达式的不稳定性
　　数值例子
　　逆迭代
　　初始向量b的选择
　　误差分析
　　数值例子
　　靠近的特征值和小的Bi
　　对应重特征值的线性独立特征向量
　　计算特征向量的交替方法
　　数值例子
　　三对角矩阵特征问题的评论
　　Givens和Householder方法的完成
　　方法的比较
　　拟对称三对角矩阵
　　特征向量的计算
　　形如Ax=Bx和ABx=x的方程
　　数值例子
　　同时简化A和B为对角型
　　三对角矩阵A和B
　　复Hermite矩阵
　　第六章 化一般矩阵为压缩型
　　引言
　　Givens方法
　　Householder方法
　　存储方案的研究
　　误差分析
　　Givens方法与Householder方法的关系
　　初等稳定变换
　　置换的意义
　　直接约化矩阵为Hessenberg型
　　结合交换
　　数值例子
　　误差分析
　　有关的误差分析
　　Hessenberg矩阵的劣定
　　用Mji型稳定矩阵化为Hessenberg型
　　Krylov方法
　　逐列Gauss消去法
　　实际的困难
　　对于某些标准的特征值分布的C的条件
　　级小于n的初始向量
　　实际的经验
　　广义Hessenberg方法
　　广义Hessenberg方法的失败
　　Hessenberg方法
　　实际的方法
　　Hessenberg方法与以前的方法的关系
　　Arnoldi方法
　　实际的考虑
　　再正交化的重要性
　　Lanczos方法
　　过程的故障
　　数值例子
　　实际的Lanczos方法
　　数值例子
　　非对称的Lanczos方法的总评述
　　对称的Lanczos方法
　　化Hessenberg矩阵为更压缩的形式
　　化下Hessenberg矩阵为三对角型
　　使用交换
　　小主元素的影响
　　误差分析
　　应用于下Hessenberg型的Hessenberg方法
　　Hessenberg方法与Lanczos方法的关系
　　化一般矩阵为三对角型
　　和Lanczos方法比较
　　化矩阵为三对角型的重新考察
　　化上Hessenberg型为Frobenius型
　　小主元素的影响
　　数值例子
　　关于稳定性的总评述
　　特殊的上Hessenberg型
　　直接确定特征多项式
　　第七章 压缩型矩阵的特征值
　　引言
　　显式多项式形式
　　显式多项式的条件数
　　某些典型的零点分布
　　Krylov方法的总评述
　　显式多项式的总评述
　　三对角矩阵
　　Hessenberg矩阵的行列式
　　舍入误差的影响
　　浮点累加
　　用正交变换计算
　　一般矩阵的行列式计算
　　广义特征值问题
　　间接确定特征多项式
　　Le Verrier方法
　　以插值为基础的迭代拄
　　渐近收敛率
　　多重零点
　　函数关系的逆
　　区间分半法
　　Newton法
　　Newton法与插值法的比较
　　三次收敛的方法
　　Laguerre方法
　　复零点
　　复共轭零点
　　Bairstow方法
　　广义的Bairstow方法
　　实际的考虑
　　舍入误差对渐近收敛性的影响
　　区间分半法
　　逐次线性插值
　　多重的和病态靠近的特征值
　　其他的插值法
　　使用导数的方法
　　接收零点的准则
　　舍入误差的影响
　　消除已计算的零点
　　Hessenberg矩阵的降阶
　　三对角矩阵的降阶
　　用旋转或稳定的初等变换降阶
　　降阶的稳定性
　　关于降阶的总评述
　　消除已计算的零点
　　消除已计算的二次因子
　　关于消除零点方法的总评述
　　渐近收敛率
　　大范围的收敛性
　　复零点
　　建议
　　复矩阵
　　含有独立参数的矩阵
　　第八章 LR和QR算法
　　引言
　　有复特征值的实矩阵
　　LR算法
　　As的收敛性证明
　　正定Hermite矩阵
　　复共轭特征值
　　引进交换
　　数值例子
　　修改过程的收敛性
　　初始矩阵的预先约化
　　上Hessenberg型的不变性
　　行和列同时运算
　　收敛的加速
　　结合原点的移动
　　选择原点的移动
　　矩阵降阶
　　关于收敛性的实际经验
　　改进的移动策略
　　复共轭特征值
　　修正的LR算法的缺点
　　QR算法
　　QR算法的收敛性
　　收敛性的正式证明
　　特征值的不同顺序
　　等模的特征值
　　LR算法的另一个证明
　　QR算法的实际应用
　　原点移动
　　As的分解
　　数值例子
　　实际的方法
　　避免复共轭位移
　　用初等Hermite变换的双步QR
　　计算的细节
　　As的分解
　　LR的双位移技术
　　对LR算法和QR算法的评述
　　多重特征值
　　降阶法的特殊用途
　　对称矩阵
　　LR算法与QR算法的关系
　　Cholesky LR算法的收敛性
　　QR算法的三次收敛性
　　Cholesky LR中的原点位移
　　Cholesky分解失败
　　三次收敛的LR方法
　　带状矩阵
　　带状矩阵的QR分解
　　误差分析
　　非对称带状矩阵
　　在QR算法中同时分解和复合
　　缩小带宽
　　第九章 迭代法
　　引言
　　幂法
　　单个向量的直接迭代
　　原点移动
　　舍入误差的影响
　　P的变化
　　P的特别选择
　　Aitken的加速方法
　　复共轭特征值
　　复特征向量的计算
　　原点移动
　　非线性初等因子
　　同时决定几个特征值
　　复矩阵
　　收缩法
　　用相似变换的收缩法
　　用不变子空间的收缩法
　　用稳定初等变换的收缩法
　　用酉变换的收缩法
　　数值稳定性
　　数值例子
　　酉变换的稳定性
　　非相似变换的收缩法
　　用不变子空间的一般约化
　　实际应用
　　梯级迭代
　　复共轭特征值的精度确定
　　十分靠近的特征值
　　正交化方法
　　正交化的梯级迭代
　　双迭代
　　数值例子
　　Richardson改进方法
　　矩阵平方法
　　数值稳定性
　　Chebyshev多项式的使用
　　关于直接迭代的总评述
　　逆迭代
　　逆迭代的误差分析
　　分析的总评述
　　特征向量的进一步改进
　　非线性初等因子
　　Hessenberg矩阵的逆迭代
　　退化情况
　　带形矩阵逆迭代
　　复共轭特征向量
　　误差分析
　　数值例子
　　广义特征值问题
　　近似特征值的变更
　　特征系的改进
　　数值例子
　　特征向量的改进
　　复共轭特征值
　　重的和非常靠近的特征值
　　对ACE程序的评述
　　参考文献

　　不书是一本计算数学名著。作者用摄动理论和向后误差分析方法系统地论述代数特征值问题以及有关的线性代数方程组、多项式零点的各种解法，并对方法的性质作了透彻的分析。本书的内容为研究代数特征值及有关问题提供了严密的理论基础和强有力的工具。全书共分九章。第一章叙述矩阵理论，第二、三章介绍摄动理论和向后舍入误差分析方法，第四章分析线性代数方程组解法，第五章讨论Hermite矩阵的特征值问题，第六、七章研究如何把一般矩阵化为压缩型矩阵及压缩型矩阵的特征值的问题，第八章论述LR和QR算法，最后一章讨论各种迭代法。