数学方法
§1科学方法
1.科学方法论——归纳法与演绎法
2.经验数学
3.演绎数学
4.欧氏几何的历史地位
§2数学方法的精髓
1.引入基本概念
2.抽象化
3.理想化
4.符号化
5.演绎法的结构
6.演绎推理的地位
7.合情推理与论证推理
数学与西方文明
§1古希腊的数学
1.自然数是万物之母
2.欧几里得的《几何原本》
§2自然科学的数学化
1.伽利略的规划
2.宇宙的和谐
3.物理学
4.化学
5.生命的奥秘
6.概率论与太空旅行
§3数学与人文科学
1.数学与西方宗教
2.数学与西方政治
3.人口论
4.史学
5.数学与语言学
6.诺贝尔经济奖与数学
§4数学与艺术
1.科学与艺术
2.傅里叶的功绩
3.数学与绘画
§5笛卡儿的方法论
数与形
§1形数
1.算术的运算规律
2.自然数的求和公式
3.自然数的平方和
4.正负交错的自然数平方和
5.自然数的立方和
§2利用面积求无穷序列的和
1.等比级数的求和公式
2.一个无穷和
§3代数与几何关系式
1.赵爽对勾股定理的证明
2.几何平均数与算术平均数
3.变换一求解一还原
习题
数学的发现
§1引言
1.学点方法论
2.归纳法与数学归纳法
§2归纳推理
1.归纳法实例
2.等周问题
3.等周定理的证明
§3类比
1.如何类比
2.类比的重要性
3.更上一层楼
4.伯努利问题
特殊化与一般化
§1引言
1.一般化与特殊化
2.向量模式
3.伽利略与落体运动
§2孙子定理
1.物不知其数
2.孙子问题的解法分析
3.孙子定理
§3辗转相除法
1.带余除法
2.辗转相除法
§4插值理论
1.引申
2.应用——求和公式
习题
数学归纳法
§1数学归纳法本义
1.什么是数学归纳法?
2.数学归纳法要义
§2灵活使用数学归纳法
1.数学归纳法在代数学中的应用“
2.斐波那契级数
3.数学归纳法在计算中的应用
4.数学归纳法与贾宪三角
5.历史注记
习题
逻辑初步
§l引言
1.思维的科学
2.公理与逻辑
3.史注
§2逻辑的方法
1.比较法
2.分析与综合
3.抽象与概括
§3概念
1.概念的外延和内涵
2.种和属
3.等价关系与分类(划分）
§4定义
§5判断
1.判断
2.否定判断
3.含量词的判断
4.连接词
5.关于“或”的复合判断
6.关于“与”的复合判断
习题
§6条件句和双条件句
1.条件句
2.双条件句——“当且仅当的复合判断
3.逻辑学与集合论
4.符号逻辑小结
§7逻辑思维的基本规律
1.同一律
2.矛盾律
3.排中律
4.充足理由律
§8三段论法
1.推理
2.三段论法的定义和结构
3.否定后件的推理
4.传递推理
5.选言推理
6.两种错误推理
7.总结
习题
数学命题和证明方法
§1命题与定理
1.数学命题
2.定理的结构
3.定理系统
§2逆命题和否命题
1.为什么要研究逆命题
2.逆命题制造法
3.否命题制造法
习题
§3命题的四种形式
1.命题的四种形式
2.命题的等价性
习题
§4充分条件和必要条件
1.充分的特征
2.必要的特征
3.必要而且充分的特征
习题
§5间接证法
1.直接证法与间接证法
2.反证法
3.同一法
§6分析法与综合法
习题
证明的限度
1.希尔伯特的梦想
2.数学的公理化
3.哥德尔的不完全性定理
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