椭圆与抛物型方程引论

　　目录第1章 预备知识 11.1 常用不等式和某些基本技术 11.1.1 几个常用不等式 11.1.2 Lp中的列紧性 21.1.3 空间和 21.1.4 磨光算子 31.1.5 切断因子 41.1.6 单位分解 51.1.7 区域边界的局部拉平 61.2 Sobolev空间和Holder空间 61.2.1 弱导数 61.2.2 Sobolev空间和 61.2.3 弱导数的运算法则 71.2.4 Sobolev空间的内插不等式 81.2.5 Holder空间和 91.2.6 Holder 101.2.6 H6 lder空间的内插不等式 101.2.7 Sobolev嵌入定理 121.2.8 Poincare不等式 131.3 t向异性Sobolev空间和Holder空间 161.3.1 t向异性Sobolev空间 161.3.2 t向异性Holder空间 181.3.3 t向异性嵌入定理 191.3.4 t问异性Poincare不等式 201.4 中函数的迹 211.4.1 中函数的几个命题 211.4.2 中函数的迹 251.4.3 中函数的迹 26第2章 线性椭圆型方程的L2理论 282.1 解Poisson方程的变分方法 282.1.1 弱解的概念 282.1.2 将问题转化为求相应泛函的极值元 302.1.3 泛函极值元的存在性 312.1.4 弱解的存在惟一性 332.2 Poisson方程弱解的正则性 332.2.1 差分算子 342.2.2 内部正则性 362.2.3 近边正则性 382.2.4 全局正则性 412.3 一般线性椭圆方程的L2理论 432.3.1 变分方法 442.3.2 Riesz表示定理的应用 452.3.3 Lax-Milgram定理及其应用 462.3.4 Fredholm二择一定理及其应用 49第3章 线性抛物型方程的L2理论 513.1 能量方法 513.1.1 弱解的定义 513.1.2 Lax-Milgram定理的一个变体 533.1.3 弱解的存在惟一性 553.1.4 弱解的正则性 573.2 Rothe方法 603.3 Galerkin方法 663.4 一般线性抛物方程的L2理论 693.4.1 能量方法 703.4.2 Rothe方法 723.4.3 Galerkin方法 72第4章 De Giorgi迭代和Moser迭代技术 764.1 Poisson方程弱解的整体有界性估计 764.1.1 Laplace方程解的弱极值原理 764.1.2 Poisson方程解的弱极值原理 774.2 热方程弱解的整体有界性估计 804.2.1 齐次热方程解的弱极值原理 804.2.2 非齐次热方程解的弱极值原理 824.3 Poisson方程弱解的局部有界性估计 854.3.1 弱下（上）解 854.3.2 Laplace方程弱解的局部有界性估计 864.3.3 Poisson方程弱解的局部有界性估计 894.3.4 Poisson方程弱解的近边估计 904.4 非齐次热方程弱解的局部有界性估计904.4.1 弱下（上）解 904.4.2 齐次热方程弱解的局部有界性估计 914.4.3 非齐热方程弱解的局部有界性估计 94第5章 Harnack不等式 965.1 Laplace方程解的Harnack不等式 965.1.1 平均值不等式 965.1.2 经典的Harnack不等式 975.1.3 的估计 985.1.4 乱的估计 995.1.5 Harnack不等式 1045.1.6 Holder估计 1055.2 齐次热方程解的Harnack不等式 1075.2.1 的估计 1075.2.2 的估计 1085.2.3 Harnack不等式 1155.2.4 Holder估计 116第6章 线性椭圆型方程解的Schauder估计 1186.1 Campanato空间 1186.2 半空间上的Poisson方程解的Schauder估计 1236.2.1 Caccioppoli不等式 1266.2.2 非齐项局部为零时解的内估计1306.2.3 非齐项局部为零时解的近边估计 1326.2.4 迭代引理 1346.2.5 Poisson方程解的内估计 1356.2.6 Poisson方程解的近边估计 1386.3 一般线性椭圆型方程解的Schauder估计 1436.3.1 问题的简化 1436.3.2 内估计 1446.3.3 近边估计 1476.3.4 全局估计 149第7章 线性抛物型方程解的Schauder估计 1517.1 t向异性Campanato空间 1517.2 线性抛物型方程解的Schauder估计 1527.2.1 内估计 1537.2.2 近底边估计 1617.2.3 近侧边估计 1667.2.4 近底-侧边估计 1797.2.5 一般线性抛物型方程解的Schauder估计 182第8章 线性方程古典解的存在性理论1838.1 极值原理和比较原理 1838.1.1 椭圆型方程的情形 1838.1.2 抛物型方程的情形 1868.2 线性椭圆型方程古典解的存在惟一性 1898.2.1 Poisson方程古典解的存在惟一性 1898.2.2 连续性方法 1948.2.3 一般线性椭圆型方程解的存在惟一性 1958.3 线性抛物型方程古典解的存在惟一性 1968.3.1 热方程古典解的存在惟一性 1978.3.2 一般线性抛物型方程解的存在惟一性 197第9章 线性方程解的Lp估计和强解的存在性理论1999.1 线性椭圆型方程解酌Lp估计与强解的存在惟一性 1999.1.1 立方体上的Poisson方程解的Lp估计 1999.1.2 一般线性椭圆型方程解的Lp估计 2049.1.3 线性椭圆方程强解的存在惟一性 2069.2 线性抛物型方程解的Lp估计与强解的存在惟一性 2089.2.1 立方体上的热方程解的Lp估计 2089.2.2 一般线性抛物型方程解的Lp估计 2139.2.3 线性抛物方程强解的存在惟一性 214第10章 不动点方法 21710.1 解拟线性方程的不动点框架 21710.1.1 Leray-Schauder不动点定理 21710.1.2 拟线性椭圆方程的可解性 21710.1.3 拟线性抛物方程的可解性 21910.1.4 先验估计的步骤 22010.2 最大模估计 22110.3 Holder内估计 22210.4 Poisson方程解的近边Holder估计与梯度估计 22510.5 近边Holder估计与梯度估计 22710.6 梯度的全局估计 23310.7 一个线性方程解的Holder估计 23710.7.1 迭代引理 23710.7.2 Morrey定理 23810.7.3 Holder估计 23910.8 梯度的Holder估计 24210.8.1 梯度的内部Holder估计 24210.8.2 梯度的近边Holder估计 24310.8.3 梯度的全局Holder估计 24510.9 更一般的拟线性方程的可解性 24510.9.1 更一般的拟线性椭圆方程的可解性 24510.9.2 更一般的拟线性抛物方程的可解性 246第11章 压缩半群方法 24811.1 Banach空间上的压缩半群 24811.1.1 集值映射与耗散集 24811.1.2 压缩半群 24911.1.3 指数公式 24911.2 二阶揪线性退化抛物方程的Cauchy问题 25011.2.1 弱解的定义 25011.2.2 弱解的存在性 250第12章 拓扑度方法 25812.1 拓扑度 25812.1.1 C2映射的Brouwer度 25812.1.2 连续函数的Brouwer度 25912.1.3 Brouwer度的基本性质 25912.1.4 Leray-Schauder度 25912.1.5 Leray-Schauder度的基本性质 26012.2 具强非线性源的热方程解的存在性 261参考文献 266

　　《椭圆与抛物型方程引论》将椭圆型方程与抛物型方程这两个偏微分方程领域的重要分支融为一体，涌盖了这两类方程有关的基本理论和基本方法，既突出了两者的共性，又揭示了其各自的特性，使读者在联系和对比当中能更有效地同时掌握这两类方程的有关知识。