研究生公共数学系列教材：数值计算

　　第一章  数值计算导论
　　§l  数学问题与数值计算问题
　　§2  数值计算的基本数学思想与方法
　　2.1  数值计算的基本思想
　　2.2  数值计算的基本方法
　　§3  计算误差的基本概念和误差分析
　　3.1  误差来源的分类
　　3.2  绝对误差、相对误差与有效数字
　　3.3  算术运算的误差
　　3.4  适定性与稳定性
　　3.5  避免和减少误差的若干计算原则
　　§4  算法性态分析概述
　　4.1  计算复杂度——计算的代价
　　4.2  收敛率——计算的速度
　　§5  问题与探索
　　5.1  数值问题的病态性
　　5.2  迭代法的收敛性及其收敛速度（收敛率）
　　5.3  20世纪十大算法
　　5.4  线性代数方程组问题与建模
　　习题一
　　数值实验一
　　数值实验 1.1迭代法的设计与运行
　　数值实验 1.2函数逼近
　　第二章  求解线性代数方程组的直接方法
　　§1  引言
　　§2  初等下三角形矩阵——Gauss变换矩阵
　　§3  Gauss消元法
　　3.1  顺序Gauss消元法
　　3.2  消元过程的可行性
　　3.3  Gauss消元法的矩阵分析
　　3.4  Gauss主元消元法
　　§4  三角分解法
　　4.1  直接三角分解法
　　4.2  列主元三角分解法
　　4.3  带状对角形方程组的三角分解法
　　4.4  正定矩阵的三角分解法
　　§5  向量与矩阵的范数
　　5.1  线性空间中的范数
　　5.2  几个常用的向量范数
　　5.3  向量范数的等价性
　　5.4  矩阵范数
　　5.5  几个常用的诱导矩阵范数
　　5.6  范数的若干应用
　　§6  线性方程组的误差分析及其性态
　　6.1  直接法的误差分析
　　6.2  线性方程组的条件数
　　§7  问题与探索
　　7.1  条件数的近似计算
　　7.2  迭代改善法
　　7.3  求解拟三对角线性方程组的直接方法
　　本章评述
　　习题二
　　数值实验二
　　数值实验2.1  电阻网络问题的求解
　　数值实验2.2  时间序列模型的求解
　　第三章  求解线性代数方程组的迭代法
　　§1  引言
　　§2  基本迭代法及其构造
　　§3  基本迭代法的收敛理论
　　3.1  迭代法的收敛性分析
　　3.2  收敛定理
　　3.3  误差估计
　　§4  几类特殊方程的基本迭代法的收敛性
　　4.1  对角占优矩阵方程的基本迭代法的收敛性
　　4.2  对称正定矩阵方程的基本迭代法的收敛性
　　4.3  SOB迭代格式的收敛性
　　4.4  Richardson迭代格式的收敛性
　　§5  迭代加速方法
　　5.1  多项式加速方法
　　5.2  SOR迭代的最优松弛因子
　　§6  求解Ax=b的变分原理与共轭梯度法
　　6.1  求解Ax=b的变分原理与最速下降法
　　6.2  最速下降法的收敛性
　　6.3  共轭方向法
　　6.4  共轭梯度法
　　6.5  共轭梯度法的收敛性
　　6.6  求解非奇异方程组的共轭梯度法
　　§7  问题与探索
　　7.1  不动点原理
　　7.2  预处理共轭梯度法
　　7.3  最优松弛因子的实用选择方法
　　本章评述
　　习题三
　　数值实验三
　　数值实验3.1  基本迭代法的运行（1）
　　数值实验3.2  基本迭代法的运行（2）
　　数值实验3.3  迭代法的进一步认识（1）
　　数值实验3.4  迭代法的进一步认识（2）
　　第四章  非线性方程组的数值求解
　　§l  概述
　　§2  非线性方程的根的定位和二分法
　　2.1  根的定位
　　2.2  二分法
　　§3  基于不动点原理的迭代法
　　3.1  不动点方程与不动点迭代法
　　3.2  不动点的存在性与迭代法的全局收敛性
　　3.3  迭代法的局部收敛性与收敛阶
　　3.4  迭代法收敛的加速方法
　　§4  Newton法（切线法）
　　4.1  Newton法及其迭代格式
　　4.2  Newton法的收敛性
　　4.3  求重根的修正Newton法
　　4.4  Newton法的进一步研究
　　§5  非线性方程组的数值求解的基本方法
　　5.1  概述
　　5.2  向量值函数的可微性
　　5.3  不动点迭代法及其局部收敛性
　　5.4  Newton迭代法
　　§6  非线性方程组的数值方法的进一步研究
　　6.1  同伦算法
　　6.2  拟Newton法
　　§7  问题与探索
　　7.1  方程重根数的计算方法
　　7.2  基于变分原理的最小二乘法
　　7.3  矩阵特征值问题的实例
　　本章评述
　　习题四
　　数值实验四
　　数值实验4.1  算法的设计和性能比较研究
　　数值实验4.2  Newton法收敛域的结构和局部收敛性
　　数值实验4.3  一般迭代格式的复杂行为
　　数值实验4.4  非线性方程组的数值求解
　　第五章  矩阵特征值问题的数值方法
　　§1  矩阵特征值问题的有关基础
　　§2  乘幂法与反乘幂法
　　2.1  乘幂法的基本原理
　　2.2  乘幂法的计算格式
　　2.3  加速收敛技术
　　2.4  反乘幂法与Rayleigh商迭代法（RQI）
　　2.5  基于乘幂法的降阶收缩方法
　　§3  常用的线性变换工具
　　3.1  正交上三角化变换
　　3.2  Householder反射变换
　　3.3  实现正交三角分解的Givens旋转变换和Schmidt变换
　　§4  求解一般矩阵特征值问题的QR方法
　　4.1  基本QR迭代格式
　　4.2  QR方法的收敛性
　　4.3  QR方法的预处理
　　4.4  带平移QR迭代方法
　　§5  对称矩阵特征值问题
　　5.1  乘幂法
　　5.2  对称QR方法
　　5.3  Householder·方法
　　5.4  Jacobi方法
　　§6  问题与探索
　　6.1  Krylov子空间方法的基本思想
　　6.2  Amoldi过程
　　第六章 数值逼近问题（1）—插值及其数值计算
　　第七章 数值逼近问题（2）—函数的最优逼近与拟合
　　第八章 数值积分与数值微分
　　第九章 常微分方程初值问题的数值方法
　　主要参考文献
　　名词索引

　　    《数值计算》的内容属于科学计算的基础部分，包括数值线性代数、数值逼近和方程数值求解三大板块，课程框架由计算方法的设计和算法的数值分析组成，前者研究和提出基于合理数学原理的计算方法，后者对提出的计算方法，从精度和效率两个方向进行分析评价。先后对线性代数方程组、矩阵特征值、非线性方程（组）、插值与拟合逼近、数值微积分、常微分方程初值等问题的数值计算进行详尽的讨论。
　　    全书的叙述体系注重从各种数值现象和实际问题开始，引导读者观察与思考，培养“问题意识”，防止数学概念和定义莫名其妙地从天而降；在突出基本内容的同时，为具有较好数学功底的读者提供了提高的空间。全书采用启发式模式，叙述力求严谨，强调数学训练的难度和强度；每章附有较多的练习题和数值实验。
　　    《数值计算》主要为理工医农类与经济管理类学科研究生的公共数学课程编写，也可供数学系本科作为“数值分析”的教材或参考书。对需要较多科学与工程计算的科技人员，《数值计算》也是一本合适的参考书。