后现代分析（第3版）

　　Chapter I. calculus for functions of one variable
　　0. prerequisites
　　Properties of the real numbers， limits and convergence of sequences of real numbers， exponential function and logarithm. Exercises
　　1. limits and continuity of functions
　　definitions of continuity， uniform continuity， properties of continuous functions， intermediate value theorem， hslder and lipschitz continuity.Exercises
　　2. differentiability
　　Definitions of differentiability， differentiation rules， differentiablefunctions are continuous， higher order derivatives. Exercises
　　3. characteristic properties of differentiable functions.
　　Differential equations characterization of local extrema by the vanishing of the derivative， mean value theorems， the differential equation f = rf， uniqueness of solutions of differential equations， qualitative behavior of solutions of differential equations and inequalities， characterization of local maxima and minima via second derivatives， taylor expansion. Exercises
　　4. the banach fixed point theorem. the concept of banach space
　　Banach fixed point theorem， definition of norm， metric， cauchy sequence， completeness. Exercises
　　5. uniform convergence. interchangeability of limiting processes. examples of banach spaces. the theorem of arzela-ascoli
　　Convergence of sequences of functions， power series， convergence theorems， uniformly convergent sequences， norms on function spaces， theorem of arzela-ascoli on the uniform convergence of sequences of uniformly bounded and equicontinuoas functions. Exercises
　　6. integrals and ordinary differential equations
　　Primitives， riemann integral， integration rules， integration by parts，chain rule， mean value theorem， integral and area， odes， theorem of picard-lindelsf on the local existence and uniqueness of solutions of odes with a lipschitz condition. Exercises
　　Chapter II. topological concepts
　　7. metric spaces： continuity， topological notions， compact sets
　　Definition of a metric space， open， closed， convex， connected， compa sets， sequential compactness， continuous mappings between metric space bounded linear operators， equivalence of norms in rd， definition of a topological space. Exercises
　　Chapter III. calculus in euclidean and banach spaces
　　8. differentiation in banach spaces
　　Definition of differentiability of mappings between banach spaces，differentiation rules， higher derivatives， taylor expansion. Exercises
　　9. differential calculus in rd
　　A. scalar valued functions
　　Gradient， partial derivatives， hessian， local extrema， laplace operator， partial differential equations
　　B. vector valued functions
　　Jacobi matrix， vector fields， divergence， rotation. Exercises
　　10. the implicit function theorem. applications
　　Implicit and inverse function theorems， extrema with constraints，lagrange multipliers. Exercises
　　11. curves in rd. systems of odes
　　Regular and singular curves， length， rectifiability， arcs， jordan arc theorem， higher order ode as systems of odes. Exercises
　　Chapter IV. the lebesgue integral
　　12. preparations. semicontinuous functions
　　Theorem of dini， upper and lower semicontinuous functions， the characteristic function of a set. Exercises
　　13. the lebesgue integral for semicontinuous functions. the volume of compact sets
　　The integral of continuous and semicontinuous functions， theorem of fubini， volume， integrals of rotationally symmetric functions and other
　　examples. Exercises
　　14. lebesgue integrable functions and sets
　　Upper and lower integral， lebesgue integral， approximation of
　　lebesgue integrals， integrability of sets. Exercises
　　15. null functions and null sets. the theorem of fubini
　　Null functions， null sets， cantor set， equivalence c]aeses of integrable functions， the space ll， fubinis theorem for integrable functions.Exercises
　　16. the convergence theorems of lebesgue integration theory
　　Monotone convergence theorem of b.levi， fatous lemma， dominated convergence theorem of h. lebesgue， parameter dependent integrals，differentiation under the integral sign. Exercises
　　17. measurable functions and sets. jensens inequality. the theorem of egorov
　　Measurable functions and their properties， measurable sets，measurable functions as limits of simple functions， the composition of a measurable function with a continuous function is measurable， jensens inequality for convex functions， theorem of egorov on almost uniform convergence of measurable functions， the abstract concept of a measure.Exercises
　　18. the transformation formula
　　Transformation of multiple integrals under diffeomorphisms， integrals in polar coordinates. Exercises
　　Chapter V. lp and sobolev spaces
　　19. the lp-spaces
　　Lp-functions， hslders inequality， minkowskis inequality，completeness of lp-spaces， convolutions with local kernels， lebesgue points， approximation of lp-functions by smooth functions through mollification， test functions， covering theorems， partitions of unity.Exercises
　　20. integration by parts. weak derivatives. sobolev spaces
　　Weak derivatives defined by an integration by parts formula， sobolev functions have weak derivatives in lp-spaces， calculus for sobolev functions， sobolev embedding theorem on the continuity of sobolev functions whose weak derivatives are integrable to a sufficiently highpower， poincare inequality， compactness theorem of rellich-kondrachov on the lp-convergence of sequences with bounded sobolev norm.Exercises
　　Chapter vi. introduction to the calculus of variations and elliptic partial differential equations
　　21. hilbert spaces. weak convergence
　　Definition and properties of hilbert spaces， riesz representation theorem， weak convergence， weak compactness of bounded sequences， banach-saks lemma on the convergence of convex combinations of bounded sequences. Exercises
　　22. variational principles and partial differential equations
　　Dirichlets principle， weakly harmonic functions， dirichlet problem， euler-lagrange equations， variational problems， weak lower semicontinuity of variational integrals with convex integrands， examples from physics and contim/um mechanics， hamiltons principle， equilibrium states， stability， the laplace operator in polar coordinates. Exercises
　　23. regularity of weak solutions
　　Smoothness of weakly harmonic functions and of weak solutions of general elliptic pdes， boundary regularity， classical solutions. Exercises
　　24. the maximum principle
　　Weak and strong maximum principle for solutions of elliptic pdes，boundary point lemma of e. hopf， gradient estimates， theorem of liouville. Exercises
　　25. the eigenvalue problem for the laplace operator
　　Eigenfunctions of the laplace operator form a complete orthonormal basis of l2 as an application of the rellich compactness theorem.Exercises
　　index

　　    What is the title of this book intended to signify， what connotations is the adjective "Postmodern" meant to carry? A potential reader will surely pose this question. To answer it， I should describe what distinguishes the ap to analysis presented here from what has by its protagonists been called "Modern Analysis". "Modern Analysis" as represented in the works of the Bourbaki group or in the textbooks by Jean Dieudonn is characterized by its systematic and axiomatic treatment and by its drive towards a high level of abstraction. Given the tendency of many prior treatises on analysis to degenerate into a collection of rather unconnected tricks to solve special problems， this definitely represented a healthy achievement.