代数函数与Abelian函数（第2版）（英文版）

　　Chapter Ⅰ  The Riemann-Roch Theorem
　　1. Lemmas on Valuations
　　2. The Riemann-Roch Theorem
　　3. Remarks on Differential Forms
　　4. Residues in Power Series Fields
　　5. The Sum of the Residues
　　6. The Genus Formula of Hurwitz
　　7. Examples
　　8. Differentials of Second Kind
　　9. Function Fields and Curves
　　10. Divisor Classes
　　Chapter Ⅱ  The Fermat Curve
　　1. The Genus
　　2. Differentials
　　3. Rational Images of the Fermat Curve
　　4. Decomposition of the Divisor Classes
　　Chapter Ⅲ  The Riemann Surface
　　1. Topology and Analytic Structure
　　2. Integration on the Riemann Surface
　　Chapter Ⅳ  The Theorem of Abel-Jacobi
　　1. Abelian Integrals
　　2. Abels Theorem
　　3. Jacobis Theorem
　　4. Riemanns Relations
　　5. Duality
　　Chapter Ⅴ  Periods on the Fermat Curve
　　1. The Logarithm Symbol
　　2. Periods on the Universal Covering Space
　　3. Periods on the Fermat Curve
　　4. Periods on the Related Curves
　　Chapter Ⅵ  Linear Theory of Theta Functions
　　1. Associated Linear Forms
　　2. Degenerate Theta Functions
　　3. Dimension of the Space of Theta Functions
　　4. Abelian Functions and Riemann-Roch Theorem on the Toru
　　5. Translations of Theta Functions
　　6. Projective Embedding
　　Chapter Ⅶ  Homomorphisms and Duality
　　1. The Complex and Rational Representations
　　2. Rational and p-adic Representations
　　3. Homomorphisms
　　4. Complete Reducibility of Poincar
　　5. The Dual Abelian Manifold
　　6. Relations with Theta Functions
　　7. The Kummer Pairing
　　8. Periods and Homology
　　Chapter Ⅷ  Riemann Matrices and Classical Theta Functions
　　1. Riemann Matrices
　　2. The Siegel Upper Half Space
　　3. Fundamental Theta Functions
　　chapterⅨ
　　Involutions and Abelian Manifolds of Quaternion Type
　　1. Involutions
　　2. Special Gnerators
　　3. Orders
　　4. Lattices and Riemann Forms on  Determined by Quaternion Algebras
　　5. Isomorphism Classes
　　chapteⅩ
　　Theta Functions and Divisors
　　I. Positive Divisors
　　2. Arbitrary Divisors
　　3. Existence of a Riemann Form on an Abelian Variety
　　Bibliography
　　Index

　　    This short book gives an introduction to algebraic and abelian functions, withemphasis on the complex analytic point of view. It could be used for a course  or seminar addressed to second year graduate students.
　　    The goal is the same as that of the first edition, although I have made a  number of additions. I have used the Weil proof of the Riemann-Roch the  orem since it is efficient and acquaints the reader with adeles, which are a very  useful tool pervading number theory.
　　    The proof of the Abel-Jacobi theorem is that given by Artin in a seminar  in 1948. As far as I know, the very simple proof for the Jacobi inversion  theorem is due to him. The Riemann-Roch theorem and the Abel-Jacobi  theorem could form a one semester course.
　　    The Riemann relations which come at the end of the treatment of Jacobis  theorem form a bridge with the second part which deals with abelian functionsand theta functions. In May 1949, Weil gave a boost to the basic theory of    theta functions in a famous Bourbaki seminar talk. I have followed his  exposition of a proof of Poincare that to each divisor on acomplex torus there  corresponds a theta function on the universal covering space. However, the  correspondence between divisors and theta functions is not needed for the  linear theory of theta functions and the projective embedding of the torus  when there exists a positive non-degenerate Riemann form. Therefore I have  given the proof of existence of a theta function corresponding to a divisor only  in the last chapter, so that it does not interfere, with the self-contained treat-  ment of the linear theory.