数值分析
第0章 基础 1
0.1 多项式计算 1
0.2 二进制数 4
0.2.1 十进制到二进制的转换 5
0.2.2 二进制到十进制的转换 5
0.3 实数的浮点表示 7
0.3.1 浮点格式 7
0.3.2 机器表示 10
0.3.3 浮点数的加法 12
0.4 有效数字的损失 15
0.5 微积分回顾 18
第1章 解方程 22
1.1 对分法 22
1.1.1 根隔离法 22
1.1.2 算法的精度和速度 26
1.2 不动点迭代 28
1.2.1 函数的不动点 28
1.2.2 不动点迭代的几何原理 31
1.2.3 不动点迭代的线性收敛性 32
1.2.4 停止准则 37
1.3 精度的界限 40
1.3.1 前向误差和后向误差 41
1.3.2 Wilkinson多项式 44
1.3.3 求根的灵敏度 45
1.4 Newton法 49
1.4.1 Newton法的二次收敛性 50
1.4.2 Newton法的线性收敛性 53
1.5 不用导数求根 58
1.5.1 割线法及其变形 58
1.5.2 Brent方法 62
第2章 方程组 67
2.1 高斯消去法 67
2.1.1 基本的高斯消去法 68
2.1.2 运算计数 70
2.2 LU分解 75
2.2.1 高斯消去法的矩阵形式 75
2.2.2 利用LU分解的回代过程 78
2.2.3 LU分解的复杂性 80
2.3 误差的来源 83
2.3.1 误差放大及条件数 83
2.3.2 摆动 89
2.4 PA=LU分解 92
2.4.1 部分选主元 92
2.4.2 置换矩阵 94
2.4.3 PA=LU分解 96
2.5 迭代方法 101
2.5.1 Jacobi方法 101
2.5.2 Gauss-Seidel方法和SOR 104
2.5.3 迭代方法的收敛性 107
2.5.4 稀疏矩阵计算 108
2.6 共轭梯度法 115
2.6.1 正定矩阵 115
2.6.2 共轭梯度法 116
2.7 非线性方程组系统 120
2.7.1 多变量Newton方法 120
2.7.2 Broyden方法 124
第3章 插值 128
3.1 数据和插值函数 128
3.1.1 Lagrange插值 129
3.1.2 Newton均差 131
3.1.3 经过n个点的d次多项式有多少个 135
3.1.4 插值编码 136
3.1.5 用近似多项式表示函数 138
3.2 插值误差 142
3.2.1 插值误差公式 142
3.2.2 Newton形式和误差公式的证明 144
3.2.3 Runge现象 146
3.3 Chebyshev插值 149
3.3.1 Chebyshev定理 149
3.3.2 Chebyshev多项式 151
3.3.3 区间的改变 153
3.4 三次样条 157
3.4.1 样条的性质 158
3.4.2 端点条件 165
3.5 Bezier曲线 170
第4章 最小二乘 179
4.1 最小二乘和正规方程 179
4.1.1 不相容方程组 179
4.1.2 数据拟合模型 184
4.1.3 最小二乘的条件作用 188
4.2 模型综述 192
4.2.1 周期数据 192
4.2.2 数据线性化 195
4.3 QR分解 202
4.3.1 Gram-Schmidt正交化和最小二乘 202
4.3.2 Householder反射 208
4.4 非线性最小二乘 214
4.4.1 Gauss-Newton方法 214
4.4.2 带非线性系数的模型 217
第5章 数值微分和数值积分 224
5.1 数值微分 224
5.1.1 有限差分公式 224
5.1.2 舍入误差 228
5.1.3 外推 230
5.1.4 符号微分法和符号积分法 232
5.2 数值积分的Newton-cotes公式 235
5.2.1 梯形法则 236
5.2.2 Simpson法则 237
5.2.3 复合Newton-Cotes公式 240
5.2.4 开Newton-Cotes方法 242
5.3 Romberg积分 245
5.4 自适应求积 249
5.5 Gauss求积 253
第6章 常微分方程 261
6.1 初值问题 261
6.1.1 Euler方法 263
6.1.2 解的存在性、唯一性和连续性 268
6.1.3 一阶线性方程 271
6.2 初值问题解法分析 273
6.2.1 局部截断误差和整体截断误差 273
6.2.2 显式梯形方法 277
6.2.3 Taylor方法 280
6.3 常微分方程组 282
6.3.1 高阶方程 284
6.3.2 计算机模拟：摆 285
6.3.3 计算机模拟：轨道力学 289
6.4 Runge-Kutta方法及其应用 294
6.4.1 Runge-Kutta族 294
6.4.2 计算机模拟：Hodgkin-Huxley神经元 297
6.4.3 计算机模拟：Lorenz方程 299
6.5 变步长方法 305
6.5.1 嵌入Runge-Kutta对 305
6.5.2 4/5阶方法 307
6.6 隐式方法和刚性方程 312
6.7 多步方法 316
6.7.1 生成多步方法 316
6.7.2 显式多步方法 319
6.7.3 隐式多步方法 322
第7章 边值问题 328
7.1 打靶法 328
7.1.1 边值问题的解 328
7.1.2 打靶法的实现 332
7.2 有限差分方法 337
7.2.1 线性边值问题 337
7.2.2 非线性边值问题 340
7.3 配置法与有限元法 345
7.3.1 配置法 346
7.3.2 有限元和Galerkin方法 348
第8章 偏微分方程 355
8.1 抛物型偏微分方程 355
8.1.1 前向差分方法 356
8.1.2 前向差分方法的稳定性分析 360
8.1.3 后向差分方法 362
8.1.4 Crank-Nicolson方法 364
8.2 双曲型方程 370
8.2.1 波动方程 370
8.2.2 CFL条件 373
8.3 椭圆型方程 376
8.3.1 椭圆型方程的有限差分方法 377
8.3.2 椭圆型方程的有限元方法 385
第9章 随机数及其应用 397
9.1 随机数 397
9.1.1 伪随机数 398
9.1.2 指数随机数和正态随机数 403
9.2 蒙特卡罗模拟 405
9.2.1 蒙特卡罗估计的幂定律 406
9.2.2 拟随机数 407
9.3 离散布朗运动和连续布朗运动 412
9.3.1 随机游动 412
9.3.2 连续布朗运动 414
9.4 随机微分方程 417
9.4.1 将噪声引入微分方程 417
9.4.2 随机微分方程的数值方法 420
第10章 三角插值和快速Fourier变换 431
10.1 Fourier变换 431
10.1.1 复算术 432
10.1.2 离散Fourier变换 434
10.1.3 快速Fourier变换 436
10.2 三角插值 439
10.2.1 DFT插值定理 439
10.2.2 三角函数的有效求值 443
10.3 FFT和信号处理 447
10.3.1 正交性和插值 447
10.3.2 用三角函数进行最小二乘拟合 449
10.3.3 声音、噪声和过滤 453
第11章 压缩 459
11.1 离散余弦变换 459
11.1.1 一维离散余弦变换 460
11.1.2 DCT和最小二乘逼近 462
11.2 二维DCT和图像压缩 465
11.2.1 二维DCT 465
11.2.2 图像压缩 469
11.2.3 量化 471
11.3 Hu?man编码 478
11.3.1 信息论和编码 479
11.3.2 JPEG格式的Hu?man编码 481
11.4 改进的DCT和音频压缩 485
11.4.1 MDCT 485
11.4.2 位的量化 491
第12章 特征值和奇异值 497
12.1 幂迭代方法 497
12.1.1 幂迭代 498
12.1.2 幂迭代的收敛性 500
12.1.3 逆幂迭代 501
12.1.4 Rayleigh商迭代 503
12.2 QR算法 505
12.2.1 同时迭代 505
12.2.2 实Schur形式和QR算法 509
12.2.3 上Hessenberg形式 511
12.3 奇异值分解 519
12.3.1 一般情况下求SVD 522
12.3.2 特殊情形：对称矩阵 523
12.4 SVD的应用 525
12.4.1 SVD的性质 525
12.4.2 降维 526
12.4.3 压缩 528
12.4.4 计算SVD 529
第13章 最优化 533
13.1 没有导数的无约束最优化 534
13.1.1 黄金分割探索 534
13.1.2 连续抛物线插值法 537
13.1.3 Nelder-Mead搜索 540
13.2 带导数的无约束最优化 543
13.2.1 牛顿法 543
13.2.2 最速下降法 545
13.2.3 共轭梯度法 546
附录A 矩阵代数 551
附录B MATLAB简介 556
参考文献 563
0.1 多项式计算 1
0.2 二进制数 4
0.2.1 十进制到二进制的转换 5
0.2.2 二进制到十进制的转换 5
0.3 实数的浮点表示 7
0.3.1 浮点格式 7
0.3.2 机器表示 10
0.3.3 浮点数的加法 12
0.4 有效数字的损失 15
0.5 微积分回顾 18
第1章 解方程 22
1.1 对分法 22
1.1.1 根隔离法 22
1.1.2 算法的精度和速度 26
1.2 不动点迭代 28
1.2.1 函数的不动点 28
1.2.2 不动点迭代的几何原理 31
1.2.3 不动点迭代的线性收敛性 32
1.2.4 停止准则 37
1.3 精度的界限 40
1.3.1 前向误差和后向误差 41
1.3.2 Wilkinson多项式 44
1.3.3 求根的灵敏度 45
1.4 Newton法 49
1.4.1 Newton法的二次收敛性 50
1.4.2 Newton法的线性收敛性 53
1.5 不用导数求根 58
1.5.1 割线法及其变形 58
1.5.2 Brent方法 62
第2章 方程组 67
2.1 高斯消去法 67
2.1.1 基本的高斯消去法 68
2.1.2 运算计数 70
2.2 LU分解 75
2.2.1 高斯消去法的矩阵形式 75
2.2.2 利用LU分解的回代过程 78
2.2.3 LU分解的复杂性 80
2.3 误差的来源 83
2.3.1 误差放大及条件数 83
2.3.2 摆动 89
2.4 PA=LU分解 92
2.4.1 部分选主元 92
2.4.2 置换矩阵 94
2.4.3 PA=LU分解 96
2.5 迭代方法 101
2.5.1 Jacobi方法 101
2.5.2 Gauss-Seidel方法和SOR 104
2.5.3 迭代方法的收敛性 107
2.5.4 稀疏矩阵计算 108
2.6 共轭梯度法 115
2.6.1 正定矩阵 115
2.6.2 共轭梯度法 116
2.7 非线性方程组系统 120
2.7.1 多变量Newton方法 120
2.7.2 Broyden方法 124
第3章 插值 128
3.1 数据和插值函数 128
3.1.1 Lagrange插值 129
3.1.2 Newton均差 131
3.1.3 经过n个点的d次多项式有多少个 135
3.1.4 插值编码 136
3.1.5 用近似多项式表示函数 138
3.2 插值误差 142
3.2.1 插值误差公式 142
3.2.2 Newton形式和误差公式的证明 144
3.2.3 Runge现象 146
3.3 Chebyshev插值 149
3.3.1 Chebyshev定理 149
3.3.2 Chebyshev多项式 151
3.3.3 区间的改变 153
3.4 三次样条 157
3.4.1 样条的性质 158
3.4.2 端点条件 165
3.5 Bezier曲线 170
第4章 最小二乘 179
4.1 最小二乘和正规方程 179
4.1.1 不相容方程组 179
4.1.2 数据拟合模型 184
4.1.3 最小二乘的条件作用 188
4.2 模型综述 192
4.2.1 周期数据 192
4.2.2 数据线性化 195
4.3 QR分解 202
4.3.1 Gram-Schmidt正交化和最小二乘 202
4.3.2 Householder反射 208
4.4 非线性最小二乘 214
4.4.1 Gauss-Newton方法 214
4.4.2 带非线性系数的模型 217
第5章 数值微分和数值积分 224
5.1 数值微分 224
5.1.1 有限差分公式 224
5.1.2 舍入误差 228
5.1.3 外推 230
5.1.4 符号微分法和符号积分法 232
5.2 数值积分的Newton-cotes公式 235
5.2.1 梯形法则 236
5.2.2 Simpson法则 237
5.2.3 复合Newton-Cotes公式 240
5.2.4 开Newton-Cotes方法 242
5.3 Romberg积分 245
5.4 自适应求积 249
5.5 Gauss求积 253
第6章 常微分方程 261
6.1 初值问题 261
6.1.1 Euler方法 263
6.1.2 解的存在性、唯一性和连续性 268
6.1.3 一阶线性方程 271
6.2 初值问题解法分析 273
6.2.1 局部截断误差和整体截断误差 273
6.2.2 显式梯形方法 277
6.2.3 Taylor方法 280
6.3 常微分方程组 282
6.3.1 高阶方程 284
6.3.2 计算机模拟：摆 285
6.3.3 计算机模拟：轨道力学 289
6.4 Runge-Kutta方法及其应用 294
6.4.1 Runge-Kutta族 294
6.4.2 计算机模拟：Hodgkin-Huxley神经元 297
6.4.3 计算机模拟：Lorenz方程 299
6.5 变步长方法 305
6.5.1 嵌入Runge-Kutta对 305
6.5.2 4/5阶方法 307
6.6 隐式方法和刚性方程 312
6.7 多步方法 316
6.7.1 生成多步方法 316
6.7.2 显式多步方法 319
6.7.3 隐式多步方法 322
第7章 边值问题 328
7.1 打靶法 328
7.1.1 边值问题的解 328
7.1.2 打靶法的实现 332
7.2 有限差分方法 337
7.2.1 线性边值问题 337
7.2.2 非线性边值问题 340
7.3 配置法与有限元法 345
7.3.1 配置法 346
7.3.2 有限元和Galerkin方法 348
第8章 偏微分方程 355
8.1 抛物型偏微分方程 355
8.1.1 前向差分方法 356
8.1.2 前向差分方法的稳定性分析 360
8.1.3 后向差分方法 362
8.1.4 Crank-Nicolson方法 364
8.2 双曲型方程 370
8.2.1 波动方程 370
8.2.2 CFL条件 373
8.3 椭圆型方程 376
8.3.1 椭圆型方程的有限差分方法 377
8.3.2 椭圆型方程的有限元方法 385
第9章 随机数及其应用 397
9.1 随机数 397
9.1.1 伪随机数 398
9.1.2 指数随机数和正态随机数 403
9.2 蒙特卡罗模拟 405
9.2.1 蒙特卡罗估计的幂定律 406
9.2.2 拟随机数 407
9.3 离散布朗运动和连续布朗运动 412
9.3.1 随机游动 412
9.3.2 连续布朗运动 414
9.4 随机微分方程 417
9.4.1 将噪声引入微分方程 417
9.4.2 随机微分方程的数值方法 420
第10章 三角插值和快速Fourier变换 431
10.1 Fourier变换 431
10.1.1 复算术 432
10.1.2 离散Fourier变换 434
10.1.3 快速Fourier变换 436
10.2 三角插值 439
10.2.1 DFT插值定理 439
10.2.2 三角函数的有效求值 443
10.3 FFT和信号处理 447
10.3.1 正交性和插值 447
10.3.2 用三角函数进行最小二乘拟合 449
10.3.3 声音、噪声和过滤 453
第11章 压缩 459
11.1 离散余弦变换 459
11.1.1 一维离散余弦变换 460
11.1.2 DCT和最小二乘逼近 462
11.2 二维DCT和图像压缩 465
11.2.1 二维DCT 465
11.2.2 图像压缩 469
11.2.3 量化 471
11.3 Hu?man编码 478
11.3.1 信息论和编码 479
11.3.2 JPEG格式的Hu?man编码 481
11.4 改进的DCT和音频压缩 485
11.4.1 MDCT 485
11.4.2 位的量化 491
第12章 特征值和奇异值 497
12.1 幂迭代方法 497
12.1.1 幂迭代 498
12.1.2 幂迭代的收敛性 500
12.1.3 逆幂迭代 501
12.1.4 Rayleigh商迭代 503
12.2 QR算法 505
12.2.1 同时迭代 505
12.2.2 实Schur形式和QR算法 509
12.2.3 上Hessenberg形式 511
12.3 奇异值分解 519
12.3.1 一般情况下求SVD 522
12.3.2 特殊情形：对称矩阵 523
12.4 SVD的应用 525
12.4.1 SVD的性质 525
12.4.2 降维 526
12.4.3 压缩 528
12.4.4 计算SVD 529
第13章 最优化 533
13.1 没有导数的无约束最优化 534
13.1.1 黄金分割探索 534
13.1.2 连续抛物线插值法 537
13.1.3 Nelder-Mead搜索 540
13.2 带导数的无约束最优化 543
13.2.1 牛顿法 543
13.2.2 最速下降法 545
13.2.3 共轭梯度法 546
附录A 矩阵代数 551
附录B MATLAB简介 556
参考文献 563
Timothy Sauer，乔治梅森大学数学系教授。1982年毕业于加州大学伯克利分校，师从著名数学家RobinHartshome。他的主要研究领域为动力系统和数值分析。除本书外，还与人合著有CHAOS：An Introduction to Dynamical System等书。Sauer是SLAM Journalon Applied Dynamical Systems、Journal of Difference Equations and Applications和Physica D等学术期刊的编委。
《数值分析》以收敛性、复杂性、条件作用、压缩和正交性这5个主要思想为核心进行展开。内容包括求解方程组、插值、最小二乘、数值微分、数值积分、微分方程及边值问题、随机数及其应用、三角插值、压缩、最优化等。每章都有一个实例检验，有助于读者了解到相关应用领域。附录中介绍了矩阵代数和MATLAB，并提供了部分习题的答案。
《数值分析》内容广泛，实例丰富，可作为自然科学、工程技术、计算机科学、数学、金融等专业人员进行教学和研究的参考书。
《数值分析》内容广泛，实例丰富，可作为自然科学、工程技术、计算机科学、数学、金融等专业人员进行教学和研究的参考书。
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