微分几何基础（英文版）

　　Foreword
　　Acknowledgments
　　PART Ⅰ
　　General Differential Theory，
　　CHAPTER Ⅰ
　　Oifferenlial Calculus
　　Categories
　　Topological Vector Spaces
　　Derivatives and Composition of Maps
　　Integration and Taylors Formula
　　The Inverse Mapping Theorem
　　CHAPTER Ⅱ
　　Manifolds
　　Atlases， Charts， Morphisms
　　Submanifolds， Immersions， Submersions
　　Partitions of Unity
　　Manifolds with Boundary
　　CHAPTER Ⅲ
　　Vector Bundles
　　Definition， Pull Backs
　　The Tangent Bundle
　　Exact Sequences of Bundles
　　Operations on Vector Bundles
　　Splitting of Vector Bundles
　　CHAPTER Ⅳ
　　Vector Fields and Differential Equations
　　Existence Theorem for Differential Equations .
　　Vector Fields， Curves， and Flows
　　Sprays
　　The Flow of a Spray and the Exponential Map
　　Existence of Tubular Neighborhoods
　　Uniqueness of Tubular Neighborhoods
　　CHAPTER Ⅴ
　　Operations on Vector Fields and Differential Forms
　　Vector Fields， Differential Operators， Brackets
　　Lie Derivative
　　Exterior Derivative
　　The Poincar  Lemma
　　Contractions and Lie Derivative
　　Vector Fields and l-Forms Under Self Duality
　　The Canonical 2-Form
　　Darbouxs Theorem
　　CHAPTER Ⅵ
　　The Theorem of Frobenius
　　Statement of the Theorem
　　Differential Equations Depending on a Parameter
　　Proof of the Theorem
　　The Global Formulation
　　Lie Groups and Subgroups
　　PART Ⅱ
　　Metrics， Covariant Derivatives， and Riemannian Geometry
　　CHAPTER Ⅶ
　　Metrics
　　Definition and Functoriality
　　The Hilbert Group
　　Reduction to the Hilbert Group
　　Hilbertian Tubular Neighborhoods
　　The Morse-Palais Lemma
　　The Riemannian Distance
　　The Canonical Spray
　　CHAPTER Ⅷ
　　Covariant Derivatives and Geodesics.
　　Basic Properties
　　Sprays and Covariant Derivatives
　　Derivative Along a Curve and Parallelism
　　The Metric Derivative
　　More Local Results on the Exponential Map
　　Riemannian Geodesic Length and Completeness
　　CHAPTER Ⅸ
　　Curvature
　　The Riemann Tensor
　　Jacobi Lifts
　　Application of Jacobi Lifts to Texpx
　　Convexity Theorems
　　Taylor Expansions
　　CHAPTER Ⅹ
　　Jacobi Lifts and Tensorial Splitting of the Double Tangent Bundle
　　Convexity of Jacobi Lifts
　　Global Tubular Neighborhood of a Totally Geodesic Submanifold.
　　More Convexity and Comparison Results
　　Splitting of the Double Tangent Bundle
　　Tensorial Derivative of a Curve in TX and of the Exponential Map
　　The Flow and the Tensorial Derivative
　　CHAPTER XI
　　Curvature and the Variation Formula
　　The Index Form， Variations， and the Second Variation Formula
　　Growth of a Jacobi Lift
　　The Semi Parallelogram Law and Negative Curvature
　　Totally Geodesic Submanifolds
　　Rauch Comparison Theorem
　　CHAPTER XII
　　An Example of Seminegative Curvature
　　Pos，，(R) as a Riemannian Manifold
　　The Metric Increasing Property of the Exponential Map
　　Totally Geodesic and Symmetric Submanifolds
　　CHAPTER XIII
　　Automorphisms and Symmetries.，
　　The Tensorial Second Derivative
　　Alternative Definitions of Killing Fields
　　Metric Killing Fields
　　Lie Algebra Properties of Killing Fields
　　Symmetric Spaces
　　Parallelism and the Riemann Tensor
　　CHAPTER XlV
　　Immersions and Submersions .
　　The Covariant Derivative on a Submanifoid
　　The Hessian and Laplacian on a Submanifold
　　The Covariant Derivative on a Riemhnnian Submersion .
　　The Hessian and Laplacian on a Riemannian Submersion
　　The Riemann Tensor on Submanifolds
　　The Riemann Tensor on a Riemannian Submersion
　　PART III
　　Volume Forms and Integration
　　CHAPTER XV
　　Volume Forms
　　Volume Forms and the Divergence
　　Covariant Derivatives
　　The Jacobian Determinant of the Exponential Map
　　The Hodge Star on Forms
　　Hodge Decomposition of Differential Forms
　　Volume Forms in a Submersion
　　Volume Forms on Lie Groups and Homogeneous Spaces
　　Homogeneously Fibered Submersions
　　CHAPTER XVI
　　Integration of Differential Forms
　　Sets of Measure 0
　　Change of Variables Formula
　　Orientation
　　The Measure Associated with a Differential Form
　　Homogeneous Spaces
　　CHAPTER XVII
　　Stokes Theorem
　　Stokes Theorem for a Rectangular Simplex
　　Stokes Theorem on a Manifold
　　Stokes Theorem with Singularities
　　CHAPTER XVIII
　　Applications of Stokes Theorem
　　The Maximal de Rham Cohomology
　　Mosers Theorem
　　The Divergence Theorem
　　The Adjoint of d for Higher Degree Forms
　　Cauchys Theorem
　　The Residue Theorem
　　APPENDIX
　　The Spectral Theorem，
　　Hilbert Space
　　Functionals and Operators
　　Hermitian Operators
　　Bibliography
　　Index

　　    《微分几何基础(英文版)》介绍了微分拓扑、微分几何以及微分方程的基本概念。《微分几何基础(英文版)》的基本思想源于作者早期的《微分和黎曼流形》，但重点却从流形的一般理论转移到微分几何，增加了不少新的章节。这些新的知识为Banach和Hilbert空间上的无限维流形做准备，但一点都不觉得多余，而优美的证明也让读者受益不浅。在有限维的例子中，讨论了高维微分形式，继而介绍了Stokes定理和一些在微分和黎曼情形下的应用。给出了Laplacian基本公式，展示了其在浸入和浸没中的特征。书中讲述了该领域的一些主要基本理论，如：微分方程的存在定理、少数性、光滑定理和向量域流，包括子流形管状邻域的存在性的向量丛基本理论，微积分形式，包括经典2-形式的辛流形基本观点，黎曼和伪黎曼流形协变导数以及其在指数映射中的应用，Cartan-Hadamard定理和变分微积分一基本定理。目次：（一部分）一般微分方程；微积分；流形；向量丛；向量域和微分方程；向量域和微分形式运算；Frobenius定理；（第二部分）矩阵、协变导数和黎曼几何：矩阵；协变导数和测地线；曲率；二重切线丛的张量分裂；曲率和变分公式；半负曲率例子；自同构和对称；浸入和浸没；（第三部分）体积形式和积分：体积形式；微分形式的积分；Stokes定理；Stokes定理的应用；谱理论。