抽象代数讲义（第2卷）

　　CHAPTER I：FINITE DIMENSIONA VECTOR SPACES
　　1.Abstract vector spaces
　　2.Right vector spaces
　　3.o-modules
　　4.Linear dependence
　　5.Invariance of dimensionality
　　6.Bases and matrices
　　7.Applications to matrix theory
　　8.Rank of a set of vectors
　　9.Factor spaces
　　10.Algebra of subspaces
　　11.Independent subspaces， direct sums
　　CHAPTER II：LINEAR TRANSFORMATIONS
　　1.Definition and examples
　　2.Compositions of linear transformations
　　3.The matrix of a linear transformation
　　4.Compositions of matrices
　　5.Change of basis.Equivalence and similarity of matrices
　　6.Rank space and null space of a linear transformation
　　7.Systems of linear equations
　　8.Linear transformations in right vector spaces
　　9.Linear functions
　　10.Duality between a finite dimensional space and itsconjugate space
　　11.Transpose of a linear transformation
　　12.Matrices of the transpose
　　13.Projections
　　CHAPTER III：THE THEORY OF A SINGLE LINEAR TRANSFORMATION
　　1.The minimum polynomial of a linear transformation
　　2.Cyclic subspaces
　　3.Existence of a vector whose order is the minimum polynomial
　　4.Cyclic linear transformations
　　5.The []-module determined by a linear transformation
　　6.Finitely generated o-modules， o， a principal ideal domain
　　7.Normalization of the generators of F and of
　　8.Equivalence of matrices with elements in a principal ideal domain
　　9.Structure of finitely generated a-modules
　　10.Invariance theorems
　　11.Decomposition of a vector space relative to a linear transformation
　　12.The characteristic and minimum polynomials
　　13.Direct proof of Theorem 13
　　14.Formal properties of the trace and the characteristic polynomial
　　15.The ring of a-endomorphisms of a cyclic o-module
　　16.Determination of the ring of a-endomorphisms of a finitely generated o module， o principal
　　17.The linear transformations which commute with a given linear transformation
　　18.The center of the ring
　　CHAPTER IV：SETS OF LINEAR TRANSFORMATIONS
　　1.Invariant subspaces
　　2.Induced linear transformations
　　3.Composition series
　　4.Decomposability
　　5.Complete reducibility
　　6.Relation to the theory of operator groups and the theory of modules
　　7.Reducibility， decomposability， complete reducibility for a single linear transformation
　　8.The primary components of a space relative to a linear transformation
　　9.Sets of commutative linear transformations
　　CHAPTER V：BILINEAR FORMS
　　1.Bilinear forms
　　2.Matrices of a bilinear form
　　3.Non-degenerate forms
　　4.Transpose of a linear transformation relative to a pair of bilinear forms
　　5.Another relation between linear transformations and bilinear forms
　　6.Scalar products
　　7.Hermitian scalar products
　　8.Matrices of hermitian scalar products
　　9.Symmetric and hermitian scalar products over special division rings
　　10.Alternate scalar products
　　11.Witt''s theorem
　　12.Non-alternate skew-symmetric forms
　　CHAPTER VI：EUCLIDEAN AND UNITARY SPACES
　　1.Cartesian bases
　　2.Linear transformations and scalar products
　　3.Orthogonal complete reducibility
　　4.Symmetric， skew and orthogonal linear transformations
　　5.Canonical matrices for symmetric and skew linear transformations
　　6.Commutative symmetric and skew linear transformations
　　7.Normal and orthogonal linear transformations
　　8.Semi-definite transformations
　　9.Polar factorization of an arbitrary linear transformation
　　10.Unitary geometry
　　11.Analytic functions of linear transformations
　　CHAPTER VII：PRODUCTS OF VECTOR SPACES
　　1.Product groups of vector spaces
　　2.Direct products of linear transformations
　　3.Two-sided vector spaces
　　4.The Kronecker product
　　5.Kronecker products of linear transformations and of matrices
　　6.Tensor spaces
　　7.Symmetry classes of tensors
　　8.Extension of the field of a vector space
　　9.A theorem on similarity of sets of matrices
　　10.Alternative definition of an algebra.Kronecker product of algebras
　　CHAPTER viii：THE RING OF LINEAR TRANSFORMATIONS
　　1.Simplicity of
　　2.Operator methods
　　3.The left ideals of
　　4.Right ideals
　　5.Isomorphisms of rings of linear transformations
　　CHAPTER IX：INFINITE DIMENSIONAL VECTOR SPACES
　　1.Existence of a basis
　　2.Invariance of dimensionality
　　3.Subspaces
　　4.Linear transformations and matrices
　　5.Dimensionality of the conjugate space
　　6.Finite topology for linear transformations
　　7.Total subspaces of R*
　　8.Dual spaces.Kronecker products
　　9.Two-sided ideals in the ring of linear transformations
　　10.Dense rings of linear transformations
　　11.Isomorphism theorems
　　12.Anti-automorphisms and scalar products
　　13.Schur''s lemma.A general density theorem
　　14.Irreducible algebras of linear transformations
　　Index

　　    The present volume is the second in the author's series of three dealing with abstract algebra.For an understanding of this volume a certain familiarity with the basic concepts treated in Volume I：groups,rings,fields,homomorphisms,is presupposed.However,we have tried to make this account of linear algebra independent of a detailed knowledge of our first volume.References to specific results are given occasionally but some of the fundamental concepts needed have been treated again.In short,it is hoped that this volume can be read with complete understanding by any'student who is mathematically sufficiently mature and who has a familiarity with the standard notions of modern algebra.