第一章 集合与映射
1 集合
集合
集合运算
有限集与无限集
Descartes乘积集合
习题
2 映射与函数
映射
一元实函数
初等函数
函数的分段表示、隐式表示与参数表示
函数的简单特性
两个常用不等式
习题
第二章 数列极限
1 实数系的连续性
实数系
最大数与最小数
上确界与下确界
附录Dedekind切割定理
习题
2 数列极限
数列与数列极限
数列极限的性质
数列极限的四则运算
习题
3 无穷大量
无穷大量
待定型
习题
4 收敛准则
单调有界数列收敛定理
π和e
闭区间套定理
子列
Bolzano-Weierstrass定理
Cauchy收敛原理
实数系的基本定理
习题
第三章 函数极限与连续函数
1 函数极限
函数极限的定义
函数极限的性质
函数极限的四则运算
函数极限与数列极限的关系
单侧极限
函数极限定义的扩充
习题
2 连续函数
连续函数的定义
连续函数的四则运算
不连续点类型
反函数连续性定理
复合函数的连续性
习题
3 无穷小量与无穷大量的阶
无穷小量的比较
无穷大量的比较
等价量
习题
4 闭区间上的连续函数
有界性定理
最值定理
零点存在定理
中间值定理
一致连续概念
习题
第四章 微分
1 微分和导数
微分概念的导出背景
微分的定义
微分和导数
习题
2 导数的意义和性质
产生导数的实际背景
导数的几何意义
单侧导数
习题
3 导数四则运算和反函数求导法则
从定义出发求导函数
求导的四则运算法则
反函数求导法则
习题
4 复合函数求导法则及其应用
复合函数求导法则
一阶微分的形式不变性
隐函数求导与求微分
复合函数求导法则的其他应用
习题
5 高阶导数和高阶微分
高阶导数的实际背景及定义
高阶导数的运算法则
高阶微分
习题
第五章 微分中值定理及其应用
1 微分中值定理
函数极值与Fermat引理
Rolle定理
Lagrange中值定理
用Lagrange中值定理讨论函数性质
Cauchy中值定理
习题
2 L'Hospital法则
待定型极限和L'Hospital法则
可化为0/0型或∞/∞型的极限
习题
3 Taylor公式和插值多项式
带Peano余项的Taylor公式
带Lagrange余项的Taylor公式
插值多项式和余项
Lagrange插值多项式和Taylor公式
习题
4 函数的Taylor公式及其应用
函数在x=0处的Taylor公式
Taylor公式的应用
习题
5 应用举例
极值问题
最值问题
数学建模
函数作图
习题
6 方程的近似求解
解析方法和数值方法
二分法
Newton迭代法
计算实习题
第六章 不定积分
1 不定积分的概念和运算法则
微分的逆运算--不定积分
不定积分的线性性质
习题
2 换元积分法和分部积分法
换元积分法
分部积分法
基本积分表
习题
3 有理函数的不定积分及其应用
有理函数的不定积分
可化成有理函数不定积分的情况
习题
第七章 定积分
1 定积分的概念和可积条件
定积分概念的导出背景
定积分的定义
Darboux和
Riemann可积的充分必要条件
习题
2 定积分的基本性质
习题
3 微积分基本定理
从实例看微分与积分的联系
微积分基本定理--Newton-Leibniz公式
定积分的分部积分法和换元积分法
习题
4 定积分在几何计算中的应用
求平面图形的面积
求曲线的弧长
求某些特殊的几何体的体积
求旋转曲面的面积
曲线的曲率
习题
附录 常用几何曲线图示
5 微积分实际应用举例
微元法
由静态分布求总量
求动态效应
简单数学模型和求解
从Kepler行星运动定律到万有引力定律
习题
6 定积分的数值计算
数值积分
Newton-Cotes求积公式
复化求积公式
Gauss型求积公式
计算实习题
第八章 反常积分
1 反常积分的概念和计算
反常积分
反常积分计算
习题
计算实习题
2 反常积分的收敛判别法
反常积分的Cauchy收敛原理
非负函数反常积分的收敛判别法
一般函数反常积分的收敛判别法
无界函数反常积分的收敛判别法
习题
答案与提示
索引
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