第一篇 极限论
第一部分 极限初论
第一章 变量与函数
§1 函数的概念
一、变量
二、函数
三、函数的一些几何特性
习题
§2 复合函数和反函数
一、复合函数
二、反函数
习题
§3 基本初等函数
习题
第二章 极限与连续
§1 数列的极限和无穷大量
一、数列极限的定义
二、数列极限的性质
三、数列极限的运算
四、单调有界数列
五、无穷大量的定义
六、无穷大量的性质和运算
习题
§2 函数的极限
一、函数在一点的极限
二、函数极限的性质和运算
三、单侧极限
四、函数在无限远处的极限
五、函数值趋于无穷大的情形
六、两个常用的不等式和两个重要的极限
习题
§3 连续函数
一、连续的定义
二、连续函数的性质和运算
三、初等函数的连续性
四、不连续点的类型
五、闭区间上连续函数的性质
习题
§4 无穷小量与无穷大量的阶
习题
第二部分 极限续论
第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明
§1 关于实数的基本定理
一、子列
二、上确界和下确界
三、区间套定理
四、致密性定理
五、柯西收敛原理
六、有限覆盖定理
习题
§2 闭区间上连续函数性质的证明
一、有界性定理
二、最大(小)值定理
三、零点存在定理
四、反函数连续性定理
五、一致连续性定理
习题
第二篇 单变量微积分学
第一部分 单变量微分学
第四章 导数与微分
§1 导数的引进与定义
一、导数的引进
二、导数的定义及几何意义
习题
§2 简单函数的导数
一、常数的导数
二、正弦函数的导数
三、对数函数的导数
四、幂函数的导数
习题
§3 求导法则
一、导数的四则运算
二、反函数的导数
习题
§4 复合函数求导法
习题
§5 微分及其运算
一、微分的定义
二、微分的运算法则
习题
§6 隐函数及参数方程所表示的函数的求导法
一、隐函数求导法
二、参数方程所表示的函数的求导法
习题
§7 不可导的函数举例
习题
§8 高阶导数与高阶微分
一、高阶导数及其运算法则
二、高阶微分
习题
第五章 微分学基本定理及导数的应用
§1 中值定理
一、费马(Fermat)定理
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
习题
§2 泰勒公式
一、利用一阶导数作近似计算
二、泰勒(Taylor)公式
习题
§3 函数的单调性、凸性与极值
一、函数的单调性
二、函数的极大值与极小值
三、函数的最大值与最小值
四、函数的凸性
习题
§4 平面曲线的曲率
一、什么是曲线的曲率
二、弧长的微分
三、曲率的计算
习题
……
索引
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