几何分析手册（第2卷）

　　Heat Kernels on Metric Measure Spaces with Regular Volume Growth
　　Alexander Griqoryan
　　1 Introduction
　　1.1 Heat kernel in Rn
　　1.2 Heat kernels on Riemannian manifolds
　　1.3 Heat kernels of fractional powers of Laplacian
　　1.4 Heat kernels on fractal spaces
　　1.5 Summary of examples
　　2 Abstract heat kernels
　　2.1 Basic definitions
　　2.2 The Dirichlet form
　　2.3 Identifying in the non-local case
　　2.4 Volume of balls
　　3 Besov spaces
　　3.1 Besov spaces in Rn
　　3.2 Besov spaces in a metric measure space
　　3.3 Embedding of Besov spaces into HSlder spaces.
　　4 The energy domain
　　4.1 A local case
　　4.2 Non-local case
　　4.3 Subordinated heat kernel
　　4.4 Bessel potential spaces
　　5 The walk dimension
　　5.1 Intrinsic characterization of the walk dimension
　　5.2 Inequalities for the walk dimension
　　6 Two-sided estimates in the local case
　　6.1 The Dirichlet form in subsets
　　6.2 Maximum principles
　　6.3 A tail estimate
　　6.4 Identifying in the local case
　　References
　　A Convexity Theorem and Reduced Delzant Spaces Bong H. Lian， Bailin Song
　　1 Introduction
　　2 Convexity of image of moment map
　　3 Rationality of moment polytope
　　4 Realizing reduced Delzant spaces
　　5 Classification of reduced Delzant spaces
　　References
　　Localization and some Recent Applications
　　Bong H. Lian， Kefeng Liu
　　1 Introduction
　　2 Localization
　　3 Mirror principle
　　4 Hori-Vafa formula
　　5 The Marino-Vafa Conjecture
　　6 Two partition formula
　　7 Theory of topological vertex
　　8 Gopakumar-Vafa conjecture and indices of elliptic operators..
　　9 Two proofs of the ELSV formula
　　10 A localization proof of the Witten conjecture
　　11 Final remarks
　　References
　　Gromov-Witten Invariants of Toric Calabi-Yau Threefolds Chiu-Chu Melissa Liu
　　1 Gromov-Witten invariants of Calabi-Yau 3-folds
　　1.1 Symplectic and algebraic Gromov-Witten invariants
　　1.2 Moduli space of stable maps
　　1.3 Gromov-Witten invariants of compact Calabi-Yau 3-folds
　　1.4 Gromov-Witten invariants of noncompact Calabi-Yau 3-folds
　　2 Traditional algorithm in the toric case
　　2.1 Localization
　　2.2 Hodge integrals
　　3 Physical theory of the topological vertex
　　4 Mathematical theory of the topological vertex
　　4.1 Locally planar trivalent graph
　　4.2 Formal toric Calabi-Yau (FTCY) graphs
　　4.3 Degeneration formula
　　4.4 Topological vertex "
　　4.5 Localization
　　4.6 Framing dependence
　　4.7 Combinatorial expression
　　4.8 Applications
　　4.9 Comparison
　　5 GW/DT correspondences and the topological vertex
　　Acknowledgments
　　References
　　Survey on Affine Spheres
　　John Loftin
　　1 Introduction
　　2 Affine structure equations
　　3 Examples
　　4 Two-dimensional affine spheres and Titeicas equation
　　5 Monge-Ampre equations and duality
　　6 Global classification of affine spheres
　　7 Hyperbolic affine spheres and invariants of convex cones
　　8 Projective manifolds
　　9 Affine manifolds
　　10 Affine maximal hypersurfaces
　　11 Affine normal flow
　　References
　　Convergence and Collapsing Theorems in Riemannian Geometry
　　Xiaochun Rong
　　Introduction
　　1 Gromov-Hausdorff distance in space of metric spaces
　　1.1 The Gromov-Hausdorff distance
　　1.2 Examples
　　1.3 An alternative formulation of GH-distance
　　1.4 Compact subsets of (Met， dGH)
　　1.5 Equivariant GH-convergence
　　1.6 Pointed GH-convergence
　　2 Smooth limits-fibrations
　　2.1 The fibration theorem
　　2.2 Sectional curvature comparison
　　2.3 Embedding via distance functions
　　2.4 Fibrations
　　2.5 Proof of theorem 2.1.1
　　2.6 Center of mass
　　2.7 Equivariant fibrations
　　2.8 Applications of the fibration theorem
　　3 Convergence theorems
　　3.1 Cheeger-Gromovs convergence theorem
　　3.2 Injectivity radius estimate
　　3.3 Some elliptic estimates
　　3.4 Harmonic radius estimate
　　3.5 Smoothing metrics
　　4 Singular limits-singular fibrations
　　4.1 Singular fibrations
　　4.2 Controlled homotopy structure by geometry
　　4.3 The ∏2-finiteness theorem
　　4.4 Collapsed manifolds with pinched positive sectional curvature
　　5 Almost flat manifolds
　　5.1 Gromovs theorem on almost flat manifolds
　　5.2 The Margulis lemma
　　5.3 Flat connections with small torsion
　　5.4 Flat connection with a parallel torsion
　　5.5 Proofs——part I
　　5.6 Proofs——part II
　　5.7 Refined fibration theorem
　　References
　　Geometric Transformations and Soliton Equations
　　Chuu-Lian Terng "
　　1 Introduction
　　2 The moving frame method for submanifolds
　　3 Line congruences and Backlund transforms
　　4 Sphere congruences and Ribaucour transforms
　　5 Combescure transforms， O-surfaces， and k-tuples
　　6 From moving frame to Lax pair
　　7 Soliton hierarchies constructed from symmetric spaces
　　8 The U-system and the Gauss-Codazzi equations
　　9 Loop group actions
　　10 Action of simple elements and geometric transforms
　　References
　　Affine Integral Geometry from a Differentiable Viewpoint
　　Deane Yang
　　1 Introduction
　　2 Basic definitions and notation
　　2.1 Linear group actions
　　3 Objects of study
　　3.1 Geometric setting
　　3.2 Convex body
　　3.3 The space of all convex bodies
　　3.4 Valuations
　　4 Overall strategy
　　5 Fundamental constructions
　　5.1 The support function
　　5.3 The polar body
　　5.4 The inverse Gauss map
　　5.5 The second fundamental form
　　5.6 The Legendre transform
　　5.7 The curvature function The homogeneous contour integral
　　6.1 Homogeneous functions and differential forms
　　6.2 The homogeneous contour integral for a differential form
　　6.3 The homogeneous contour integral for a measure
　　6.4 Homogeneous integral calculus
　　7 An explicit construction of valuations
　　7.1 Duality
　　7.2 Volume
　　8 Classification of valuations
　　9 Scalar valuations
　　9.1 SL(n)-invariant valuations
　　9.2 Hugs theorem
　　10 Continuous GL(n)-homogeneous valuations
　　10.1 Scalar valuations
　　10.2 Vector-valued valuations
　　11 Matrix-valued valuations.
　　11.1 The Cramer-Rao inequality
　　12 Homogeneous function- and convex body-valued valuations.
　　13 Questions
　　References
　　Classification of Fake Projective Planes
　　Sai-Kee Yeung
　　1 Introduction
　　2 Uniformization of fake projective planes
　　3 Geometric estimates on the number of fake projective planes.
　　4 Arithmeticity of lattices associated to fake projective planes.
　　5 Covolume formula of Prasad
　　6 Formulation of proof
　　7 Statements of the results
　　8 Further studies
　　References

　　Geometric Analysis combines differential equations and differential geometry. An important aspect is to solve geometric problems by studying differential equations.Besides some known linear differential operators such as the Laplace operator,many differential equations arising from differential geometry are nonlinear. A particularly important example is the IVlonge-Ampere equation; Applications to geometric problems have also motivated new methods and techniques in differen-rial equations. The field of geometric analysis is broad and has had many striking applications. This handbook of geometric analysis provides introductions to and surveys of important topics in geometric analysis and their applications to related fields which is intend to be referred by graduate students and researchers in related areas.