什么是数学：对思想和方法的基本研究（第四版）

　　什么是数学
　　第1章 自然数
　　引言
　　§1 整数的计算
　　§2 数系的无限性 数学归纳法
　　第1章补充 数论
　　引言
　　§1 素数
　　§2 同余
　　§3 毕达哥拉斯数和费马大定理
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　　本书是“对整个数学领域中的基本概念及方法的透彻清晰的阐述。”
　　       ■ A·爱因斯坦
　　       本书既是为初学者也是为专家，既是为学生也是为教师，既是为哲学家也是为工程师而写的。《什么是数学》是一本数学经典名著，它搜集了许多闪光的数学珍品，它们给出了数学世界的一组有趣的、深入浅出的图画。本书传至今日，又由I·斯图尔特增写了新的一章。此版以新的观点阐述了数学的新进展，叙述了四色定理和费马大定理的证明等。这些问题是在柯朗与罗宾写书的年代尚未解决，但现在已被解决了的。
　　       
　　       形式数学（formal mathematics)就像拼写与语法——只是对局部规则（local rules)的正确使用。有意义的数学(meanin…
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　　什么是数学
　　第1章 自然数
　　引言
　　§1 整数的计算
　　§2 数系的无限性 数学归纳法
　　第1章补充 数论
　　引言
　　§1 素数
　　§2 同余
　　§3 毕达哥拉斯数和费马大定理
　　§4 欧几里得辗转相除法
　　第2章 数学中的数系
　　引言
　　§1 有理数
　　§2 不可公度线段 无理数和极限概念
　　§3 解析几何概述
　　§4 无限的数学分析
　　§5 复数
　　§6 代数数和超越数
　　第2章补充 集合代数
　　第3章 几何作图 数域的代数
　　引言
　　第1部分 不可能性的证明和代数
　　§1 基本几何作图
　　§2 可作图的数和数域
　　§3 三个不可解的希腊问题
　　第2部分 作图的各种方法
　　§4 几何变换 反演
　　§5 用其他工具作图 只用圆规的马歇罗尼作图
　　§6 再谈反演及其应用
　　第4章 射影几何 公理体系 非欧几里得几何
　　§1 引言
　　§2 基本概念
　　§3 交比
　　§4 平行性和无穷远
　　§5 应用
　　§6 解析表示
　　§7 只用直尺的作图问题
　　§8 二次曲线和二次曲面
　　§9 公理体系和非欧几何
　　附录 高维空间中的几何学
　　第5章 拓扑学
　　引言
　　§1 多面体的欧拉公式
　　§2 图形的拓扑性质
　　§3 拓扑定理的其他例子
　　§4 曲面的拓扑分类
　　附录
　　第6章函数和极限
　　引言
　　§1 变量和函数
　　§2 极限
　　§3 连续趋近的极限
　　§4 连续性的精确定义
　　§5 有关连续函数的两个基本定理
　　§6 布尔查诺定理的一些应用
　　第6章补充 极限和连续的一些例题
　　§1 极限的例题
　　§2 连续性的例题
　　第7章 极大与极小
　　引言
　　§1 初等几何中的问题
　　§2 基本极值问题的一般原则
　　§3 驻点与微分学
　　§4 施瓦茨的三角形问题
　　§5 施泰纳问题
　　§6 极值与不等式
　　§7 极值的存在性 狄利克雷原理
　　§8 等周问题
　　§9 带有边界条件的极值问题 施泰纳问题和等周问题之间的联系
　　§10 变分法
　　§11 极小问题的实验解法 肥皂膜实验
　　第8章 微积分
　　引言
　　§1 积分
　　§2 导数
　　§3 微分法
　　§4 莱布尼茨的记号和“无穷小”
　　§5 微积分基本定理
　　§6 指数函数与对数函数
　　§7 微分方程
　　第8章补充
　　§1 原理方面的内容
　　§2 数量级
　　§3 无穷级数和无穷乘积
　　§4 用统计方法得到素数定理
　　第9章 最新进展
　　§1 产生素数的公式
　　§2 哥德巴赫猜想和孪生素数
　　§3 费马大定理
　　§4 连续统假设
　　§5 集合论中的符号
　　§6 四色定理
　　§7 豪斯道夫维数和分形
　　§8 纽结
　　§9 力学中的一个问题
　　§10 施泰纳问题
　　§11 肥皂膜和最小曲面
　　§12 非标准分析
　　附录 补充说明 问题和习题
　　算术和代数
　　解析几何
　　几何作图
　　射影几何和非欧几何
　　拓扑学
　　函数、极限和连续性
　　极大与极小
　　微积分
　　积分法
　　参考书目1
　　参考书目2（推荐阅读）
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　　本书是“对整个数学领域中的基本概念及方法的透彻清晰的阐述。”
　　       ■ A·爱因斯坦
　　       本书既是为初学者也是为专家，既是为学生也是为教师，既是为哲学家也是为工程师而写的。《什么是数学》是一本数学经典名著，它搜集了许多闪光的数学珍品，它们给出了数学世界的一组有趣的、深入浅出的图画。本书传至今日，又由I·斯图尔特增写了新的一章。此版以新的观点阐述了数学的新进展，叙述了四色定理和费马大定理的证明等。这些问题是在柯朗与罗宾写书的年代尚未解决，但现在已被解决了的。
　　       
　　       形式数学（formal mathematics)就像拼写与语法——只是对局部规则（local rules)的正确使用。有意义的数学(meaningful mathematics)有如新闻工作——它只讲述有趣的故事，但又不像某些新闻报道，因为它的故事必须真实。而最美的数学(the best mathematics)则如文学——它将故事栩栩如生地呈现于你眼前，使你在理智和情感上都情不自禁地投入其中。本书就是一部精美的文艺作品——它为每一个盼望欣赏数学世界的人推开了一扇窗户。 ■亚马逊网站
　　       
　　       “毫无疑问，这本书将会有深远的影响，它应当人手一册，无论是专业人员抑或是愿意做科学思考的任何人。” ■纽约时报
　　       
　　       “一本极为完美的著作。” ■数学评论
　　       
　　       “太妙了……这本书是巨大愉快和满足感的源泉。” ■应用物理杂志
　　       
　　       “这本书是一部艺术著作。” ■M·莫尔斯
　　       
　　       “这是一本非常完美的著作。……被数学家们视作科学的鲜血的一切基本思想和方法，在《什么是数学》这本书中用最简单的例子使之清晰明了，已经达到令人惊讶的程度。” ■H·外尔
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