基础数学讲义：走向真正的数学

　　第 一部分　数学直觉的背景知识
　　第 1 章　数学思维 / 2
　　1.1　概念的形成 / 3
　　1.2　基模 / 4
　　1.3　一个例子 / 6
　　1.4　自然数学与形式数学 / 7
　　1.5　基于人类经验建立形式化概念 / 8
　　1.6　形式化系统和结构定理 / 10
　　1.7　更灵活地使用形式数学 / 10
　　1.8　习题 / 12
　　第 2 章　数系 / 15
　　2.1　自然数 / 15
　　2.2　分数 / 16
　　2.3　整数 / 17
　　2.4　有理数 / 18
　　2.5　实数 / 19
　　2.6　绘图的不精确性 / 22
　　2.7　实轴的理论模型 / 22
　　2.8　不同数的不同小数表示 / 25
　　2.9　有理数和无理数 / 25
　　2.10　实数的必要性 / 27
　　2.11　小数算术 / 28
　　2.12　序列 / 29
　　2.13　顺序性质和模 / 30
　　2.14　收敛 / 32
　　2.15　完备性 / 34
　　2.16　递减序列 / 36
　　2.17　同一实数的不同小数表示 / 36
　　2.18　有界集 / 39
　　2.19　习题 / 42
　　第二部分　形式化的开端
　　第3 章　集合 / 46
　　3.1　成员 / 47
　　3.2　子集 / 51
　　3.3　是否存在宇集 / 53
　　3.4　并集和交集 / 55
　　3.5　补集 / 62
　　3.6　集合的集合 / 64
　　3.7　习题 / 66
　　第4 章　关系 / 68
　　4.1　有序对 / 68
　　4.2　数学的精确性和人类的理解 / 71
　　4.3　将有序对概念化的其他方法 / 73
　　4.4　关系 / 76
　　4.5　等价关系 / 78
　　4.6　例子：模n 算术 / 82
　　4.7　等价关系的一些细节 / 85
　　4.8　顺序关系 / 86
　　4.9　习题 / 89
　　第5 章　函数 / 92
　　5.1　一些传统函数 / 92
　　5.2　函数的一般定义 / 93
　　5.3　函数的一般性质 / 97
　　5.4　函数的图像 / 100
　　5.5　函数的复合 / 105
　　5.6　反函数 / 107
　　5.7　限制 / 111
　　5.8　序列和n 元组 / 112
　　5.9　多元函数 / 113
　　5.10　二元运算 / 113
　　5.11　集合的索引族 / 115
　　5.12　习题 / 116
　　第6 章　数理逻辑 / 119
　　6.1　陈述 / 120
　　6.2　谓词 / 121
　　6.3　所有和部分 / 123
　　6.4　多个量词 / 124
　　6.5　否定 / 126
　　6.6　逻辑语法：联结词 / 128
　　6.7　和集合论的联系 / 130
　　6.8　复合陈述公式 / 132
　　6.9　逻辑演绎 / 136
　　6.10　证明 / 138
　　6.11　习题 / 139
　　第7 章　数学证明 / 143
　　7.1　公理化系统 / 147
　　7.2　理解证明与自我解释 / 148
　　7.3　试题 / 149
　　7.4　习题 / 150
　　第三部分　公理化系统的发展
　　第8 章　自然数和数学归纳法 / 154
　　8.1　自然数 / 155
　　8.2　归纳定义 / 157
　　8.3　算术定律 / 160
　　8.4　自然数的顺序 / 166
　　8.5　 0的唯一性 / 168
　　8.6　计数 / 169
　　8.7　冯·诺伊曼的灵感 / 171
　　8.8　其他形式的归纳法 / 173
　　8.9　除法 / 175
　　8.10　因数分解 / 176
　　8.11　欧几里得算法 / 176
　　8.12　思考 / 179
　　8.13　习题 / 179
　　第9 章　实数 / 185
　　9.1　基本的算术结果 / 187
　　9.2　基本的顺序结果 / 190
　　9.3　构造整数 / 191
　　9.4　构造有理数 / 195
　　9.5　构造实数 / 196
　　9.6　有理数序列 / 197
　　9.7　 上的顺序 / 203
　　9.8　 的完备性 / 204
　　9.9　习题 / 206
　　第 10 章　作为完备有序域的实数 / 209
　　10.1　环和域的例子 / 210
　　10.2　有序环和有序域的例子 / 212
　　10.3　回顾同构 / 214
　　10.4　一些特征 / 216
　　10.5　和直觉概念间的联系 / 222
　　10.6　习题 / 223
　　第 11 章　复数以及后续数系 / 225
　　11.1　历史背景 / 225
　　11.2　构造复数 / 228
　　11.3　复共轭 / 230
　　11.4　模 / 231
　　11.5　欧拉的指数函数方法 / 234
　　11.6　余弦和正弦的加法公式 / 236
　　11.7　复指数函数 / 24
　　11.8　四元数 / 243
　　11.9　形式数学方法的转变 / 248
　　11.10　习题 / 248
　　第四部分　使用公理化系统
　　第 12 章　公理化系统、结构定理和灵活思考 / 252
　　12.1　结构定理 / 255
　　12.2　不同数学思维方法的心理学解释 / 257
　　12.3　构建形式化理论 / 260
　　12.4　后续发展 / 268
　　12.5　习题 / 269
　　第 13 章　置换和群 / 271
　　13.1　置换 / 271
　　13.2　作为循环的置换 / 274
　　13.3　置换的群性质 / 275
　　13.4　群的公理 / 278
　　13.5　子群 / 282
　　13.6　同构和同态 / 285
　　13.7　划分群来得到商群 / 287
　　13.8　群和子群的元素数量 / 290
　　13.9　定义群结构的划分 / 291
　　13.10　群同态的结构 / 295
　　13.11　群结构 / 297
　　13.12　群论在数学中的主要贡献 / 298
　　13.13　后续发展 / 302
　　13.14　习题 / 304
　　第 14 章　基数 / 307
　　14.1　康托尔的基数 / 310
　　14.2　施罗德- 伯恩斯坦定理 / 316
　　14.3　基数的算术 / 319
　　14.4　基数的顺序关系 / 323
　　14.5　习题 / 324
　　第 15 章　无穷小量 / 327
　　15.1　比实数更大的有序域 / 329
　　15.2　超有序域 / 332
　　15.3　超有序域的结构定理 / 332
　　15.4　在几何数轴上表示无穷小量 / 334
　　15.5　放大到更高维度 / 340
　　15.6　无穷小量的微积分 / 341
　　15.7　非标准分析 / 342
　　15.8　非标准分析的奇妙可能性 / 349
　　15.9　习题 / 352
　　第五部分　强化基础
　　第 16 章　集合论公理 / 356
　　16.1　一些困境 / 356
　　16.2　集合和类 / 357
　　16.3　集合论公理概述 / 358
　　16.4　选择公理 / 360
　　16.5　一致性 / 361
　　16.6　习题 / 363
　　附录　如何阅读证明：“自我解释”方法 / 364
　　如何自我解释 / 364
　　自我解释的例子 / 365
　　自我解释和其他方法的对比 / 365
　　练习证明1 / 366
　　练习证明2 / 366
　　记住…… / 367
　　参考文献 / 368

　　伊恩?斯图尔特（Ian Stewart） 英国皇家学会会员，曾获英国皇家学会的“法拉第奖章”、美国科学促进会的“公众理解科学技术奖”和英国伦敦数学学会与英国数学及应用研究院颁发的“塞曼奖章”，英国沃里克大学数学系荣退教授。在专业研究之余，他积极致力于向公众传播数学，并著有多部优秀数学作品，如《改变世界的17个方程》《不可思议的数》《谁在掷骰子？不确定的数学》以及“数学万花筒”系列等，其中《改变世界的17个方程》荣获美国数学协会颁发的“欧拉图书奖”。 戴维?托尔（David Tall） 英国沃里克大学教授，长期研究从孩童到成人乃至数学家的数学思维发展、相关的学习和教育方法，包括如何体现数学思想，如何用语言谈论并阅读数学，如何理解算术、代数、微积分等内容。

　　本书利用数学建模方法讨论了人类社会和自然界中的33个话题，既包括对经典话题的全新阐释，也包含对若干全新话题的开创性研究，不仅解答了大众对于数学的常见疑问：“数学有什么用？”，更是以高中知识为主要工具、以数学建模为主要载体、以中学生能够理解的方式，展现了数学研究的基本过程和思维方式。33个话题充分体现了数学与生活的密切联系，讲解了数学建模如何有效地解决跨学科问题，如何为生活中的现实需求建立合理有效的模型，如何在设计制造、生物医学、机器学习，甚至在解决社会问题方面大显身手。作者力求将抽象且严密的数学阐述得通透而有趣，凸显数学的“形式之美”“逻辑之妙”与“大道至简”。本书是为高中生、低年级本科生和爱好数学的大众读者开启的一场妙趣横生的数学思维之旅。